Nazarchuk/3.3.4Полупроводники/Холл.tex
2022-10-17 11:42:17 +03:00

182 lines
14 KiB
TeX
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

\documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
% report, book
% Рисунки
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{mathtext}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[rgb]{xcolor}
\hypersetup{ % Гиперссылки
colorlinks=true, % false: ссылки в рамках
urlcolor=blue % на URL
}
% Русский язык
\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
\addto\captionsrussian{\def\refname{Список используемой литературы}}
% Математика
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{titlesec}
\titlelabel{\thetitle.\quad}
\usepackage{wasysym}
\begin{document}\begin{titlepage}
\thispagestyle{empty}
\centerline{МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ}
\centerline{(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)}
\vfill
\centerline{\huge{Лабораторная работа 3.3.4}}
\centerline{\LARGE{<<Эффект Холла в полупроводниках>>}}
\vfill
Студент группы Б02-109 \hfill Назарчук Анна
\vfill
\centerline{Долгопрудный, 2022}
\clearpage
\end{titlepage}
\section{Аннотация}
В работе экспериментально исследован эффект Холла для полупроводников, рассчитана подвижность носителей заряда. Измерения проведены с помощью мостика Холла на образце легированного германия. Вычислены зависимости холловского напряжения от индукции магнитного поля, рассчитано значение подвижности частицы, сходящееся с табличным.
\section{Введение}
Электрический ток окружает человека повсюду и представляет собой направленный перенос зарядов с помощью микрочастиц - носителей заряда. Проводимость большинства твердых тел связана с движением электронов. Несмотря на то, что электроны входят в состав всех тел, некоторые не проводят электрический ток, а другие являются хорошими проводниками. Более того, существуют материалы, которые ведут себя так, будто вместо электронов ток в них переносят положительные частицы (называемые дырками); бывают даже вещества (обозначаемые полупроводниками), которые имеют два типа носителей: электроны и дырки. Но как хорошо они проводят электрический ток, насколько подвижны носители заряда, как много их в таких материалах? На эти вопросы и хотелось ответить в данной работе.
\section{Методика измерений}
Наиболее современным и удобным методом изучения полупроводников являются способы на основе эффекта Холла:
Во внешнем магнитном поле $B$ на заряды $q$ действует сила Лоренца $F$:
\begin{equation}
F = qE+qu\times B, \hspace{2mm}
\end{equation}
$u$ - средняя скорость движения, $E$ - напряженность электрического поля.
Эта сила вызывает движение носителей. Действительно, траектории частиц будут либо искривляться, либо, если геометрия проводника этого не позволяет,
возникнет дополнительное электрическое поле, компенсирующее магнитную
составляющую силы Лоренца. В этом и заключается суть эффекта Холла.
Рассмотрим связь между электрическим полем $E$ и плотностью тока $j$ (параметры, которые можно получить экспериментально). Пусть $B$ направлено по оси $z$, сила Лоренца при движении носителей с постоянной средней скоростью будет уравновешена трением (\cite{labnik}):
\begin{equation}
q(E+u\times B)-\frac{qu}{\mu}=0
\end{equation}
$\mu$ - подвижность носителей тока.
Откуда:
\begin{equation}
\label{mu}
E =
\begin{pmatrix}
1 & -\mu B & 0\\
\mu B & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\frac{j}{\sigma_0}, \hspace{2mm} \sigma_0 = qn\mu
\end{equation}
$n$ - концентрация носителей.
Для исследования полупроводников использована схема, называемая мостиком Холла (рис. \ref{мостик}), ее параметры: ширина пластинки $a$, толщина $h$,
длина $l$.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{мостик}
\caption{Мостик Холла - схема для исследования влияния магнитного поля на проводящие свойства} \label{мостик}
\end{center}
\end{figure}
Холловское напряжение равно:
\begin{equation}
\label{R_H}
U_\perp = E_y a=R_H\cdot \frac{B}{h}\cdot I, \hspace{2mm} R_H=\frac{1}{nq}
\end{equation}
$I$ - полный ток, $R_H$ - постоянная Холла.
Чтобы ответить на поставленные вопросы, необходимо было определить постоянную Холла, из нее концентрацию носителей тока. Для вычисления подвижности $\mu$ нужно измерить ток в образце $I$ и напряжение между контактами $U$ в отсутствие магнитного поля, рассчитать проводимость материала образца по формуле (\cite{labnik}):
\begin{equation}
\label{sigma}
\sigma_0 = \frac{Il}{Uah}
\end{equation}
\subsection*{Экспериментальная установка}
Для определения постоянной Холла использовалась установка, показанная на рисунке \ref{установка}. В зазоре электромагнита создается постоянное магнитное поле, связь индукции поля с током, который измеряется амперметром, произведена с помощью милливеберметра. Образец из германия подключается к источнику питания, величина тока измеряется амперметром $A_2$.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{Установка}
\caption{Схема экспериментальной установки для исследования эффекта Холла в полупроводниках при комнатной температуре: А$_1$, А$_2$ - амперметры для измерения тока питания электромагнита и образца соответственно; $V$ - вольтметр В7-78/1 для измерения напряжения в образце.} \label{установка}
\end{center}
\end{figure}
\section{Результаты и их обсуждение}
\subsection*{Градуировка электромагнита}
В формуле для постоянной Холла (\ref{R_H}) присутствует индукция магнитного поля $B$, в установке есть амперметр, поэтому необходимо было связать ток с индукцией.
Результаты измерений приведены на рисунке
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{Градуировка}
\caption{Зависимость индукции магнитного поля $B$ от силы тока питания электромагнита $I_M$} \label{градуировка}
\end{center}
\end{figure}
Экспериментальные значения имеют монотонный характер, график не очень похож на прямую, однако его можно приблизить квадратичной функцией: $B = -0.412 I_M ^ 2 +1.312 I_M - 0.247$. Данное приближение и будет использоваться для определения параметров полупроводника.
\subsection*{Измерение холловского напряжения}
При разных значениях тока через образец $I$ определено напряжение Холла в зависимости от тока через электромагнит $I_M$ (рис. \ref{U(B)}).
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{E(B)}
\caption{Зависимость холловского напряжения $U_\perp$ от индукции магнитного поля в электромагните $B$} \label{U(B)}
\end{center}
\end{figure}
Видно, что зависимость линейная, даже наблюдается прямая пропорциональность, это согласовано с теоретическими выводами (формула \ref{R_H} при фиксированном $I$). Немалые погрешности объяснимы градуировкой электромагнита на небольшом количестве точек и использовании промежуточных (между точками на графике градуировки) значений при измерении холловского напряжения.
Для каждого тока вычислен коэффициент наклона графика $K$ и построена его зависимость от силы тока через образец $I$
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{K(I)}
\caption{Зависимость коэффициента наклона прямой $K=\frac{\partial U_\perp}{\partial B}$ от силы тока через образец $I$} \label{K(I)}.
\end{center}
\end{figure}
Видно, что точки образуют прямую. Данный результат совпадает с теоретическими выкладками (формула \ref{R_H}). Из наклона данной кривой определены постоянная Холла, концентрация носителей заряда (ф-ла \ref{R_H}):
\begin{equation}
R_H = -1033 \pm 116, \hspace{0.6mm} 10^{-6} \hspace{0.6mm}\frac{м^3}{Кл}, \hspace{2mm}
n = 6.05 \pm 0.69,\hspace{0.6mm} 10^{21}\hspace{0.6mm} м^{-3}
\end{equation}
В отстуствие магнитного поля измерена проводимость материала образца:
\begin{equation}
\sigma_0 = 305 \pm 3 (Ом \cdot м)^{-1}
\end{equation}
Наконец, по формуле \ref{mu} рассчитана подвижность носителей заряда $\mu$. Однако принято использовать в общем случае подвижность частицы $b = \mu/q$ - коэффициент пропорциональности между установившейся скоростью частицы и приложенной к ней силой:
\begin{equation}
b = 3153 \pm 355 \frac{см^2}{В\cdot с}
\end{equation}
\section{Выводы}
\hspace{4mm}1. Полученная зависимость холловского напряжения от индукции магнитного поля линейна, что согласовано с теоретической зависимостью.
2. Рассчитанная зависимость коэффициента наклона графика зависимости холловского напряжения от индукции магнитного поля от силы тока через образец линейна, теоретический рассчет в данном эксперименте справедлив.
3. Вычисленное из результатов эксперимента значение подвижности частицы $b = 3153 \pm 355 \frac{см^2}{В\cdot с} $ сходится с табличным значение \cite{labnik} $b_{теор} = 3.8 \cdot 10^3 \frac{см^2}{В\cdot с}$.
4. Знак значения постоянной Холла $R_H = -1033 \pm 116, \hspace{0.6mm} 10^{-6} \hspace{0.6mm}\frac{м^3}{Кл}$ показывает, что носителями заряда в образце были электроны.
\begin{thebibliography}{}
\bibitem{labnik} Никулин М.Г., Попов П.В., Нозик А.А. и др. Лабораторный практикум по общей физике : учеб. пособие. В трех томах. Т. 2. Электричество и магнетизм
\end{thebibliography}
\end{document}