mirror of
https://github.com/galera951/experiment-automation.git
synced 2024-09-16 15:12:53 +03:00
Change project structure
This commit is contained in:
Lugovtsov Gleb
parent
f7cae37721
commit
521e6ff9f6
BIN
3.2.5-oscillating-circuit/description.pdf
Normal file
BIN
3.2.5-oscillating-circuit/description.pdf
Normal file
Binary file not shown.
|
|
@ -1,43 +0,0 @@
|
|||
{
|
||||
"cells": [
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 2,
|
||||
"id": "f802e53b-ac80-4d44-90c7-493f7dc6afbb",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"import sympy as smp"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": null,
|
||||
"id": "67bd6a90-3ce0-4589-b1c5-95056a59645e",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": []
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"metadata": {
|
||||
"kernelspec": {
|
||||
"display_name": "Python 3 (ipykernel)",
|
||||
"language": "python",
|
||||
"name": "python3"
|
||||
},
|
||||
"language_info": {
|
||||
"codemirror_mode": {
|
||||
"name": "ipython",
|
||||
"version": 3
|
||||
},
|
||||
"file_extension": ".py",
|
||||
"mimetype": "text/x-python",
|
||||
"name": "python",
|
||||
"nbconvert_exporter": "python",
|
||||
"pygments_lexer": "ipython3",
|
||||
"version": "3.10.2"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"nbformat": 4,
|
||||
"nbformat_minor": 5
|
||||
}
|
||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
|
Before Width: | Height: | Size: 14 KiB |
|
|
@ -1,49 +0,0 @@
|
|||
\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
|
||||
|
||||
\usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=3cm,right=3cm]{geometry}
|
||||
|
||||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[english,russian]{babel}
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
|
||||
\usepackage{graphicx,wrapfig,subfig}
|
||||
\usepackage{xcolor}
|
||||
|
||||
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathrsfs,mathtools}
|
||||
|
||||
\usepackage[some]{background}
|
||||
\usepackage{paratype}
|
||||
|
||||
\usepackage{cancel}
|
||||
\usepackage{multirow}
|
||||
\usepackage[colorlinks, linkcolor = blue]{hyperref}
|
||||
|
||||
|
||||
\definecolor{titlepagecolor}{cmyk}{1,.60,0,.40}
|
||||
|
||||
\DeclareFixedFont{\bigsf}{T2A}{PTSans-TLF}{b}{n}{1.4cm}
|
||||
|
||||
\backgroundsetup{
|
||||
scale=1,
|
||||
angle=0,
|
||||
opacity=1,
|
||||
contents={\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
|
||||
\path [fill=titlepagecolor] (-0.5\paperwidth,5) rectangle (0.5\paperwidth,10);
|
||||
\end{tikzpicture}}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
|
||||
\def\printauthor{%
|
||||
{\large \@author}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\author{%
|
||||
Луговцов Глеб\\
|
||||
ФЭФМ МФТИ\\
|
||||
\texttt{lugovtsov.gs@phystech.edu}\vspace{40pt}\\
|
||||
% Author 2 name \\
|
||||
% Department name \\
|
||||
% \texttt{email2@example.com}
|
||||
}
|
||||
|
|
@ -1,26 +0,0 @@
|
|||
\begin{titlepage}
|
||||
\BgThispage
|
||||
\newgeometry{left=1.5cm,right=3cm}
|
||||
\vspace*{2cm}
|
||||
\noindent
|
||||
\textcolor{white}{\bigsf \artitle}
|
||||
\vspace*{2cm}\par
|
||||
\noindent
|
||||
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
|
||||
\begin{flushright}
|
||||
\printauthor
|
||||
\end{flushright}
|
||||
\end{minipage} \hspace{15pt}
|
||||
%
|
||||
\begin{minipage}{0.02\linewidth}
|
||||
\rule{1pt}{175pt}
|
||||
\end{minipage} \hspace{-15pt}
|
||||
%
|
||||
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
|
||||
\vspace{5pt}
|
||||
\begin{abstract}
|
||||
\arabstract
|
||||
\end{abstract}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{titlepage}
|
||||
\restoregeometry
|
||||
|
|
@ -1,210 +0,0 @@
|
|||
\input{latex-pattern/preamble}
|
||||
|
||||
\newcommand{\artitle}{Изучение плазмы газового\\[9pt] разряда в неоне}
|
||||
|
||||
\newcommand{\arabstract}{В работе изучается плазма газового разряда в неоне, ВАХ разряда и описание свойств полученной плазмы с помощью некоторых параметров.}
|
||||
|
||||
\newcommand{\imageheight}{8cm}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\input{latex-pattern/titlepage}
|
||||
|
||||
\section{Введение}
|
||||
Плазмой называют четвёртое агрегатное состояние, при котором вещество (в нашем случае это неон) диссоциирует на газ из свободных ионов, электронов и нейтральных частиц, которые не распались. Поведение этого газа можно описать множеством параметров, таких как температура, плазменная частота, радиус Дебая, среднее число ионов в дебаевской сфере. В этой работе мы постараемся подробно изучить поведение плазмы на примере двойного зонда и разряда.
|
||||
|
||||
\section{Теоретическая справка}
|
||||
|
||||
\subsection*{Плазма}
|
||||
В ионизированном газе поле ионов <<экранируется>> электронами. Для поля $\mathbf{E}$ и плотности $\rho$ электрического заряда
|
||||
$$
|
||||
\text{div}~\mathbf{E} = 4 \pi \rho,
|
||||
$$
|
||||
а с учётом сферической симметрии и $\mathbf{E} = -\text{grad}~\varphi$:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\dfrac{d^2 \varphi}{dr^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{d\varphi}{dr}=-4\pi \rho.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Плотности заряда электронов и ионов (которые мы считаем бесконечно тяжёлыми и поэтому неподвижными)
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
\rho_e = -ne \cdot \exp\left(\dfrac{e\varphi}{kT_e}\right),\\
|
||||
\rho_i = ne.
|
||||
\end{array}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Тогда из $(1)$ в предположении $\dfrac{e\varphi}{kT_e} \ll 1$ получим
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\varphi = \dfrac{Ze}{r}e^{-r/r_D},
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $r_D = \sqrt{\dfrac{kT_e}{4\pi n e^2}}$ -- \textit{радиус Дебая}. Среднее число ионов в сфере такого радиуса
|
||||
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
|
||||
\includegraphics[scale=0.5]{images/figure.png}
|
||||
\caption{Плазменные колебания}
|
||||
\end{wrapfigure}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
N_D = n\dfrac{4}{3}\pi r_D^2.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Теперь выделим параллелепипед с плотностью $n$ электронов, сместим их на $x$. Возникнут поверхностные заряды $\sigma = nex$, поле от которых будет придавать электронам ускорение:
|
||||
$$
|
||||
\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{eE}{m}=-\dfrac{4\pi n e^2}{m}x.
|
||||
$$
|
||||
Отсюда получаем \textit{плазменную (ленгмюровскую) частоту} колебаний электронов:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\omega_p = \sqrt{\dfrac{4\pi ne^2}{m}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
\subsection*{Одиночный зонд}
|
||||
При внесении в плазму уединённого проводника -- \textit{зонда} -- с потенциалом, изначально равным потенциалу точки плазмы, в которую его помещают, на него поступают токи электроннов и ионов:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
I_{e0} = \dfrac{n \langle v_e \rangle}{4}eS,\\
|
||||
I_{i0} = \dfrac{n \langle v_i \rangle}{4}eS,
|
||||
\end{array}
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $\langle v_e \rangle$ и $\langle v_i \rangle$ -- средние скорости электронов и ионов, $S$ -- площадь зонда, $n$ -- плотность электронов и ионов. Скорости электронов много больше скорости ионов, поэтому $I_{i0} \ll I_{e0}$. Зонд будет заряжаться до некоторого равновестного напряжения $-U_f$ -- \textit{плавающего потенциала}.\\
|
||||
\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
|
||||
\includegraphics[scale=0.5]{images/zond.png}
|
||||
\caption{Вольт-амперная характеристика одиночного зонда}
|
||||
\end{wrapfigure}
|
||||
В равновесии ионный ток мало меняется, а электронный имеет вид
|
||||
$$
|
||||
I_e = I_0 \exp\left( -\dfrac{eU_f}{kT_e} \right).
|
||||
$$
|
||||
Будем подавать потенциал $U_\text{з}$ на зонд и снимать значение зондового тока $I_\text{з}$. Максимальное значение тока $I_{e\text{н}}$ -- электронный ток насыщения, а минимальное $I_{i\text{н}}$ -- ионный ток насыщения. Значение из эмпирической формулы Бомона:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
I_{i\text{н}} = 0.4 neS \sqrt{\dfrac{2kT_e}{m_i}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
\subsection*{Двойной зонд}
|
||||
Двойной зонд -- система из двух одинаковых зондов, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга, между которыми создаётся разность потенциалов, меньшая $U_f$. Рассчитаем ток между ними вблизи $I=0$. При небольших разностях потенциалов ионные токи на оба зонда близки к току насыщения и компенсируют друг друга, а значит величина результирующего тока полностью связана с разностью электронных токов. Пусть потенциалы на зондах
|
||||
$$
|
||||
U_1 = -U_f + \Delta U_1,
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
U_2 = -U_f + \Delta U_2.
|
||||
$$
|
||||
Между зондами $U = U_2 - U_1 = \Delta U_2 - \Delta U_1$.
|
||||
Через первый электрод
|
||||
\begin{equation}
|
||||
I_1 = I_{i\text{н}} + I_{e1} = I_{i\text{н}} - \dfrac{1}{4}neS\langle v_e\rangle \exp\left(-\dfrac{eU_f}{kT_e}\right)\exp\left(\dfrac{e\Delta U_1}{kT_e}\right)=I_{i\text{н}}\left(1 - \exp\left( \dfrac{e\Delta U_1}{kT_e} \right)\right).
|
||||
\end{equation}
|
||||
Аналогично через второй получим
|
||||
\begin{equation}
|
||||
I_2 = I_{i\text{н}}\left(1 - \exp\left( \dfrac{e\Delta U_2}{kT_e} \right)\right)
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Из $(7)$ и $(8)$ с учётом последовательного соединение зондов ($I_1 = -I_2 = I)$:
|
||||
$$
|
||||
\Delta U_1= \dfrac{kT_e}{e}\text{ln}\left(1 - \dfrac{I}{I_{i\text{н}}}\right)
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\Delta U_2= \dfrac{kT_e}{e}\text{ln}\left(1 + \dfrac{I}{I_{i\text{н}}}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Тогда итоговые формулы для разности потенциалов и тока
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
U = \dfrac{kT_e}{e}\text{ln}\dfrac{1 - I/I_{i\text{н}}}{1 + I/I_{i\text{н}}},
|
||||
I = I_{i\text{н}} \text{th}\dfrac{eU}{2kT_e}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Реальная зависимость выглядит несколько иначе и описывается формулой
|
||||
\begin{wrapfigure}{l}{7cm}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{images/double_zond.png}
|
||||
\caption{Вольт-амперная характеристика двойного зонда}
|
||||
\vspace{+30pt}
|
||||
\end{wrapfigure}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
I = I_{i\text{н}} \text{th}\dfrac{eU}{2kT_e} + AU.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Из этой формулы можно найти формулу для $T_e$: для $U=0$ мы найдём $I_{i\text{н}}$, продифференцируем в точке $U=0$ и с учётом $\text{th}~\alpha \approx \alpha$ при малых $\alpha$ и $A\rightarrow 0$ получим:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
kT_e = \dfrac{1}{2}\dfrac{eI_{i\text{н}}}{\dfrac{dI}{dU}|_{U=0}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
\\
|
||||
|
||||
\section{Ход работы}
|
||||
\subsection*{Описание установки}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[scale=0.6]{images/scheme.png}
|
||||
\caption{Принципиальная схема установки}
|
||||
\label{fig:my_label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Стеклянная газоразрядная трубка имеет холодный (ненакаливаемый) полый катод, три анода и \textit{геттерный} узел -- стеклянный баллон, на внутреннюю повехность которого напылена газопоглощающая плёнка (\textit{геттер}). Трубка наполнена изотопом неона $^22$Ne при давлении 2 мм рт. ст. Катод и один из анодом (I и II) с помощью переключателя $\Pi_1$ подключается через балластный резистор $R_\text{б}$ ($\approx 450$ кОм) к регулируемому ВИП с выкодным напряжением до 5 кВ.\\
|
||||
При подключении к ВИП анода-I между ним и катодом возникает газовый разряд. Ток разряда измеряется миллиамперметром $A_1$, а падение напряжения на разрядной трубке -- цифровым вольтметром $V_1$, подключённым к трубке черезе высокоомный (25 МОм) делитель напряжения с коэффициентом $(R_1+R_2)/R_2 = 10$.\\
|
||||
При подключении к ВИП анода-II разряд возникает в пространстве между катодом и анодом-II, где находятся двойной зонд, используемый для диагностики плазмы положительного столба. Зонды изготовлены из молибденовой проволоки диаметром $d = 0.2$ мм и имеют длину $l = 5.2$ мм. Они подключены к источнику питания GPS через потенциометр $R$. Переключатель $\Pi_2$ позволяет изменять полярность напряжения на зондах. Величина напряжения на зондах изменяеься с помощью дискретного переключателя <<$V$>> выходного напряжения источника питания и потенциометра $R$, а измеряется цифровым вольтметром $V_2$. Для измерения зондового тока используется мультиметр $A_2$.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection*{Исследование ВАХ разряда}
|
||||
Зажигаем плазму и строим ВАХ разряда в координатах $I_\text{р}(U_\text{р})$:
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[height=\imageheight]{images/vah-discharge.png}
|
||||
\caption{ВАХ разряда}
|
||||
\label{fig:vah-discharge}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
По наклону того участка кривой, который приближен к линии, находим максимальное диффиренциальное сопротивление разряда $R_\text{диф}$ (обратный коэффициент прямой):
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
R_\text{диф} = \dfrac{dU}{dI} = 33.0 \pm 1.5 \text{ кОм}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Сравнивная полученную кривую с рисунком \ref{fig:vah-dis-all} мы приходим к выводу, что состояние будет называться \textit{поднормальным тлеющим зарядом} (участок ГД). Полное описание есть на стр. 283 практикума.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[height=\imageheight]{images/vah_discharge_all.jpg}
|
||||
\caption{Вольт-амперная характеристика разряда в неоне при давлении 1 торр. Пунктиром изображён пример нагрузочной прямой, соответствующей режиму нормального тлеющего разряда.}
|
||||
\label{fig:vah-dis-all}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
\subsection*{Исследование зондовых характеристик}
|
||||
|
||||
Построим зондовые характеристики для разных токов и отцентруем кривые:
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[height=\imageheight]{images/vah-probe.png}
|
||||
\caption{ВАХ двойного зонда}
|
||||
\label{fig:my_label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
Определим асимптоты:
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics{images/vah-probe-fit.png}
|
||||
\caption{Асимптоты ВАХ зондов}
|
||||
\label{fig:my_label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
И по точкам пересечения асимптот с осью ординат найдём ионный ток насыщения:
|
||||
|
||||
\[I_{i\text{н}}^{5\text{В}} = 95.8 \pm 0.5 \text{ мкА},\]
|
||||
\[I_{i\text{н}}^{3\text{В}} = 52.5 \pm 0.2 \text{ мкА},\]
|
||||
\[I_{i\text{н}}^{1.5\text{В}} = 25.9 \pm 0.1 \text{ мкА}.\]
|
||||
|
||||
Полученные данные занесём в таблицу:
|
||||
|
||||
\begin{table}[h!]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$I_p$, мА & $T_e$, $10^4$ К & $n_e$, $10^{15}$ м$^{-3}$ & $\omega_p$, $10^4$ рад/c & $r_D$, $10^{-5}$ см & $N_D$ & $\alpha$, $10^{-7}$ \\ \hline
|
||||
5.0 & $41\pm 4$ & $58\pm 6$ & $144\pm 10$ & $49\pm 3$ & 30 & 24\\ \hline
|
||||
3.0 & $42\pm 4$ & $33\pm 4$ & $107\pm 9$ & $66\pm 5$ & 40 & 13\\ \hline
|
||||
1.5 & $41\pm 6$ & $16\pm 2$ & $75\pm 8$ & $94 \pm 10$ & 57 & 7\\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
\section{Выводы}
|
||||
Исследовав ВАХ разряда, мы пришли к выводу, что плазма находилась в состоянии \textit{поднормального тлеющего заряда}.
|
||||
|
||||
При исследовании зондовых характеристик удалось выяснить, что плазма \textit{идеальна} и \textit{квазинейтральна.}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
BIN
3.6.1-spectrum/description.pdf
Normal file
BIN
3.6.1-spectrum/description.pdf
Normal file
Binary file not shown.
|
|
@ -1,44 +0,0 @@
|
|||
\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
|
||||
|
||||
\usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=3cm,right=3cm]{geometry}
|
||||
|
||||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[english,russian]{babel}
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
\usepackage{xcolor}
|
||||
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
|
||||
\usepackage[some]{background}
|
||||
\usepackage{paratype}
|
||||
|
||||
\definecolor{titlepagecolor}{cmyk}{1,.60,0,.40}
|
||||
|
||||
\DeclareFixedFont{\bigsf}{T2A}{PTSans-TLF}{b}{n}{1.4cm}
|
||||
|
||||
\backgroundsetup{
|
||||
scale=1,
|
||||
angle=0,
|
||||
opacity=1,
|
||||
contents={\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
|
||||
\path [fill=titlepagecolor] (-0.5\paperwidth,5) rectangle (0.5\paperwidth,10);
|
||||
\end{tikzpicture}}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
|
||||
\def\printauthor{%
|
||||
{\large \@author}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\author{%
|
||||
Луговцов Глеб \\
|
||||
ФЭФМ МФТИ \\
|
||||
\texttt{lugovtsov.gs@phystech.edu}\vspace{40pt} \\
|
||||
% Author 2 name \\
|
||||
% Department name \\
|
||||
% \texttt{email2@example.com}
|
||||
}
|
||||
|
|
@ -1,26 +0,0 @@
|
|||
\begin{titlepage}
|
||||
\BgThispage
|
||||
\newgeometry{left=1.5cm,right=3cm}
|
||||
\vspace*{2cm}
|
||||
\noindent
|
||||
\textcolor{white}{\bigsf \artitle}
|
||||
\vspace*{2cm}\par
|
||||
\noindent
|
||||
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
|
||||
\begin{flushright}
|
||||
\printauthor
|
||||
\end{flushright}
|
||||
\end{minipage} \hspace{15pt}
|
||||
%
|
||||
\begin{minipage}{0.02\linewidth}
|
||||
\rule{1pt}{175pt}
|
||||
\end{minipage} \hspace{-15pt}
|
||||
%
|
||||
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
|
||||
\vspace{5pt}
|
||||
\begin{abstract}
|
||||
\arabstract
|
||||
\end{abstract}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{titlepage}
|
||||
\restoregeometry
|
||||
|
|
@ -1,209 +0,0 @@
|
|||
\input{latex-pattern/preamble}
|
||||
|
||||
\newcommand{\artitle}{Спектральный анализ\\[9pt] электрических сигналов}
|
||||
|
||||
\newcommand{\arabstract}{В работе изучается спектральный состав периодических электрических сигналов различной формы: цугов, прямоугольных импульсов и модулированных по амплитуде сигналов; спектры этих сигналов наблюдаются на цифровом анализаторе спектра и сравниваются с рассчитанными теоретическими значениями.}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\input{latex-pattern/titlepage}
|
||||
|
||||
\section{Введение}
|
||||
В последнее время повсеместное распространение получила цифровая обработка сигналов. Спектральный состав оцифрованного сигнала может быть найден с помощью компьютера и численных методов. Этим принципом мы и будем пользоваться в своей работе.
|
||||
|
||||
\section{Теоретическая справка}
|
||||
|
||||
\subsection*{Разложение сложных сигналов на периодические колебания}
|
||||
|
||||
Используется разложение в сумму синусов и косинусов с различными аргументами или, как чаще его называют, \textit{разложение в ряд Фурье}.
|
||||
|
||||
Пусть задана функция $f(t)$, которая периодически повторяется с циклической частотой $\Omega_1 = \dfrac{2\pi}{T}$, где $T$ --- период повторения импульсов. Её разложение в ряд Фурье имеет вид
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f(t) = \dfrac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\left[a_n \cos \left(n \Omega_1t\right) + b_n \sin \left(n \Omega_1t\right)\right]
|
||||
\end{equation}
|
||||
или
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f(t) = \dfrac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty}A_n \cos \left(n\Omega_1t-\psi_n\right).
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Если сигнал чётен относительно $t=0$, в тригонометрической записи остаются только члены с косинусами. Для нечетной наоборот.
|
||||
|
||||
Коэффициенты определяются по формуле
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
a_n = \dfrac{2}{T}\int\limits_{t_1}^{t_1+T}f(t)\cos\left(n \Omega_1 t\right) dt,\\
|
||||
\\
|
||||
b_n = \dfrac{2}{T}\int\limits_{t_1}^{t_1+T}f(t)\sin\left(n \Omega_1 t\right) dt.
|
||||
\end{array}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Здесь $t_1$ --- время, с которого мы начинаем отсчет.
|
||||
|
||||
Сравнив формулы $(1)$ и $(2)$ можно получить выражения для $A_n$ и $\psi_n$:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2},\\
|
||||
\psi_n = \arctan \dfrac{b_n}{a_n}.
|
||||
\end{array}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\subsection*{Периодическая последовательность прямоугольных импульсов}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.9]{images/2.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
Напомним, что $\Omega_1 = \dfrac{2\pi}{T}$,
|
||||
где $T$ --- период повторения импульсов.
|
||||
|
||||
Коэффициенты при косинусных составляющих будут равны
|
||||
\begin{equation}
|
||||
a_n = \dfrac{2}{T}\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2}V_0\cos\left(n\Omega_1 t\right)dt = 2V_0\dfrac{\tau}{T}\dfrac{\sin\left(n\Omega_1\tau/2\right)}{n\Omega_1\tau/2} \sim \dfrac{\sin x}{x}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Здесь $V_0$ - амплитуда сигнала.
|
||||
|
||||
Поскольку наша функция четная, то $b_n = 0$.
|
||||
|
||||
Пусть $T$ кратно $\tau$. Тогда введем ширину спектра, равную $\Delta \omega$ --- расстояние от главного максимума до первого нуля огибающей, возникающего, как нетрудно убедиться при $n = \dfrac{2\pi}{\tau \Omega_1}$. При
|
||||
этом
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\Delta \omega \tau \simeq 2\pi \Rightarrow \Delta \nu \Delta t \simeq 1.
|
||||
\end{equation}
|
||||
\subsection*{Периодическая последовательность цугов}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.9]{images/3.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
Возьмём цуги колебания $V_0 \cos(\omega_0 t)$ с длительностью цуга $\tau$ и периодом повторений $T$.\\
|
||||
Функция $f(t)$ снова является четной относительно $t = 0$. Коэффициент при $n$-ой гармонике согласно формуле $(3)$ равен
|
||||
\begin{equation}
|
||||
a_n = \dfrac{2}{T}\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2}V_0 \cos \left(\omega_0t\right) \cdot \cos\left(n \Omega_1t\right)dt = V_0 \dfrac{\tau}{T}\left( \dfrac{\sin\left[\left(\omega_0 - n \Omega_1\right)\dfrac{\tau}{2}\right]}{\left( \omega_0 - n \Omega_1\right) \dfrac{\tau}{2}} + \dfrac{\sin\left[\left(\omega_0 + n \Omega_1\right)\dfrac{\tau}{2}\right]}{\left( \omega_0 + n \Omega_1\right) \dfrac{\tau}{2}}\right).
|
||||
\end{equation}
|
||||
Пусть $T$ кратно $\tau$. Тогда спектры последовательности прямоугильных сигналов и цугов аналогичны, но максимумы сдвинуты на $\omega_0$.
|
||||
\subsection*{Амплитудно-модулированные колебания}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.9]{images/4.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
Рассмотрим гармонические колебания высокой частоты $\omega_0$, амплитуда которых медленно меняется по гармоническому закону с частотой $\Omega \ll \omega_0$.
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f(t) = A_0 \left[1+m\cos \Omega t\right] \cos \omega_0 t.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Коэффициент $m$ называется \textit{глубиной модуляции}. При $m < 1$ амплитуда меняется от минимальной $A_{min} = A_0(1-m)$ до максимальной $A_{max} = A_0(1+m)$. Глубина модуляции может быть представлена в виде
|
||||
\begin{equation}
|
||||
m = \dfrac{A_{max}-A_{min}}{A_{max}+A_{min}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Простым тригонометрическим преобразованием уравнения $(8)$ можно найти спектр колебаний
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f(t) = A_0 \cos \omega_0t + \dfrac{A_0m}{2} \cos \left(\omega_0 + \Omega\right)t + \dfrac{A_0m}{2}\cos\left(\omega_0 - \Omega\right)t.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\section{Ход работы}
|
||||
\subsection*{Исследование спектра периодических последовательностей прямоугольных импульсов}
|
||||
Устанавливаем прямоугольные колебания c $\nu_{\text{повт}} = 1$ кГц (период $T = 1$ мс) и длительностью импульса $\tau = 100$ мкс.
|
||||
|
||||
Получаем на экране спектр сигнала и, изменяя либо $\tau$, либо $\nu_{\text{повт}}$, наблюдаем, как изменяется спектр.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{cc}
|
||||
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/6.png}&\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/7a.png}\\
|
||||
$\nu_{\text{повт}} = 1$ кГц, $\tau = 100$ мкс&$\nu_{\text{повт}} = 1$ кГц, $\tau = 200$ мкс\\
|
||||
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/7b.png}\\
|
||||
$\nu_{\text{повт}} = 2$ кГц, $\tau = 100$ мкс\\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
Из данных видно, что, при увеличении $\tau$, уменьшается $\Delta \nu$, а при увеличении $\nu_\text{повт}$, увеличивается расстояние между пиками.
|
||||
|
||||
Измерим зависимость $\Delta \nu$ от $\tau$:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
|
||||
$\tau\text{, мкс}$&$\nu_0\text{, кГц}$&$\Delta \nu_0\text{, кГц}$&$1/\nu_0\text{, мкс}$&$\Delta 1/\nu_0\text{, мкс}$\\\hline
|
||||
$40.0$&$30$&$30$&$40.0$&$0$\\\hline
|
||||
$60.0$&$17$&$17$&$59$&$3$\\\hline
|
||||
$80.0$&$13$&$13$&$77$&$6$\\\hline
|
||||
$100.0$&$10$&$10$&$100.0$&$0$\\\hline
|
||||
$120.0$&$8$&$8$&$125$&$16$\\\hline
|
||||
$140.0$&$7$&$7$&$140$&$20$\\\hline
|
||||
$160.0$&$6$&$6$&$170$&$30$\\\hline
|
||||
$180.0$&$6$&$6$&$170$&$30$\\\hline
|
||||
$200.0$&$5$&$5$&$200.0$&$0$\\\hline
|
||||
\end{tabular}\\~\\
|
||||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/data.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Из графика $\Delta \nu \cdot \tau = 1.004\pm0.014$, что подтверждает соотношение неопределенностей.
|
||||
|
||||
\subsection*{Исследование спектра периодической последовательности цугов}
|
||||
Посмотрим на последовательность цугов с характерными параметрами: $\nu_0 = 50$ кГц частота повторения импульсов $f_\text{повт}=1$ кГц и исследуем спектр этого сигнала для разных длительностей импульса:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{cc}
|
||||
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/100_pulse.png}&\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/200_pulse.png}\\
|
||||
$\tau = 100$ мкс&$\tau = 200$ мкс\\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
Из данных видно, что при изменении $\tau$ значение $\Delta \omega$ обратнопропорционально меняется.\\
|
||||
|
||||
Рассмотрим поведение спектрограммы при фиксировнном значении $\tau$ и меняющемся значении $\nu_0$:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/AB10.png}\\
|
||||
$\nu_0=10$ кГц
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/AB25.png}\\
|
||||
$\nu_0=25$ кГц
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/AB40.png}\\
|
||||
$\nu_0=40$ кГц
|
||||
\end{center}
|
||||
Из данных видно, что при изменении $\nu_0$ картина смещается без изменения расстояния между спектральными компонентами.\\
|
||||
Рассмотрим то, как это расстояние меняется при изменении $f_\text{повт}$:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
|
||||
$f_\text{повт}$&$\nu, \text{кГц}$\\\hline
|
||||
$0.5$&$0.5$\\\hline
|
||||
$1.0$&$1.0$\\\hline
|
||||
$2.0$&$2.0$\\\hline
|
||||
$4.0$&$4.0$\\\hline
|
||||
$5.0$&$5.0$\\\hline
|
||||
\end{tabular}\\~\\
|
||||
\end{center}
|
||||
Погрешность результатов определяется погрешностью генератора -- $0.5$ Гц.
|
||||
$$\frac{f_\text{повт}}{\nu, \text{кГц}} = 1\pm0.1\%,$$
|
||||
что согласуется с теорией.
|
||||
|
||||
\subsection*{Исследование спектра амплитудно модулированного сигнала}
|
||||
Рассмотрим амплитудно промодулированную синусоиду с параметрами $\nu_0=25$кГц, $\nu_\text{мод}=1$кГц:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/sin_mod.png}\\
|
||||
$\nu_0=40$ кГц
|
||||
\end{center}
|
||||
\newpage
|
||||
Посмотрим на спектрограмму этого сигнала:\\
|
||||
<тут должен быть скрин со спектрограммой, но у меня его нет>
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.9]{images/4.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
Посмотрим зависимость отношения амплитуд $k=A_\text{бок}/A_\text{осн}$ у боковых и остовной частоты от параметра $m = (A_{max} - A_{min}) / (A_{max} + A_{min})$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
|
||||
$A_{max}-A_{min}\text{, В}$&$A_\text{бок}\text{, В}$&$m$&$k$\\\hline
|
||||
$0.2$&$0.0160$&$0.1$&$0.0497$\\\hline
|
||||
$0.6$&$0.0470$&$0.3$&$0.1460$\\\hline
|
||||
$1.0$&$0.0750$&$0.5$&$0.2329$\\\hline
|
||||
$1.4$&$0.1070$&$0.7$&$0.3323$\\\hline
|
||||
$1.8$&$0.1390$&$0.9$&$0.4317$\\\hline
|
||||
$2.0$&$0.1530$&$1.0$&$0.4752$\\\hline
|
||||
\end{tabular}\\~\\
|
||||
$A_\text{осн} = (322\pm0.5)\text{мВ},\,\Delta A_\text{бок}=0.0005\,\text{В},\Delta k=0.0016\,\text{}$
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/plot2.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
Из графика
|
||||
$$\frac{k}{m} = 0.476\pm0.015,$$
|
||||
что сходится с теоретическим значением $0.5$.
|
||||
|
||||
\section{Выводы}
|
||||
В данной работе мы изучили понятие спектра и спектрального анализа, а также исследовали спектральный состав периодических электрических сигналов.
|
||||
|
||||
А именно, мы посмотрели на прямоугольные импульсы, цуги гармонических колебаний, а также гармонические сигналы, модулированные по амплитуде. Кроме того, нами был экспериментально проверен частный случай выполнения соотношения неопределённости.
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user