315 lines
17 KiB
TeX
315 lines
17 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
|
||
|
||
% report, book
|
||
|
||
% Рисунки
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{wrapfig}
|
||
\usepackage{mathtext}
|
||
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
|
||
top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
|
||
|
||
\usepackage{hyperref}
|
||
\usepackage[rgb]{xcolor}
|
||
\hypersetup{ % Гиперссылки
|
||
colorlinks=true, % false: ссылки в рамках
|
||
urlcolor=blue % на URL
|
||
}
|
||
|
||
% Русский язык
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
|
||
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
|
||
|
||
|
||
% Математика
|
||
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
|
||
\usepackage{titlesec}
|
||
\titlelabel{\thetitle.\quad}
|
||
|
||
\usepackage{wasysym}
|
||
|
||
\author{Анна Назарчук Б02-109}
|
||
\title{3.6.1 Спектральный анализ электрических сигналов}
|
||
\date{}
|
||
\begin{document}
|
||
\maketitle
|
||
\section{Аннотация}
|
||
В работе исследуются спектры периодических сигналов: модулированный по амплитуде, прямоугольные импульсы и цуги. Проверяются теоретические зависимости параметров спектра на практике.
|
||
|
||
|
||
\section{Введение}
|
||
Задача описания поведения некоторой системы во времени зачастую
|
||
сводится к выяснению связи между "сигналом", подаваемым на "вход"
|
||
системы (обозначим его как $f(t)$), и её реакцией на "выходе" $g(t)$). Если произвольную функцию $f(t)$ удастся представить в виде
|
||
некоторой суммы ряда (конечного или бесконечного) гармонических
|
||
слагаемых, то при известной частотной характеристике $\lambda(\omega)$) задача
|
||
о связи воздействия и отклика системы будет решена. Такое разложение
|
||
называют спектральным. Оно имеет физический смысл: высоко добротный колебательный контур выделяет из подаваемого на него сигнала те спектральные компоненты, частоты которых близки к его собственной. Возможность разложить произвольную функцию $f(t)$ в ряд (или интеграл)
|
||
Фурье единственным и однозначным способом подразумевает и
|
||
возможность "собрать" сигнал любой формы, используя гармонические
|
||
колебания с подобранными амплитудами и фазами. В последнее время повсеместное распространение получила цифровая
|
||
обработка сигналов. Спектральный состав оцифрованного сигнала
|
||
может быть найден численно. Это и планируется проследить в работе.
|
||
|
||
|
||
\section{Поставка задачи}
|
||
Сгенерировать и получить на осциллографе спектры различных периодических сигналов. Проверить экспериментально соотношение неопределенности и отношения амплитуд гармоник при модулированных по амплитуде сигналах.
|
||
|
||
\section{Теоретические сведения}
|
||
Задача описания поведения некоторой системы во времени зачастую
|
||
сводится к выяснению связи межу «сигналом», подаваемым на «вход»
|
||
системы (обозначим его как $f(t)$), и её реакцией на «выходе» ($g(t)$).
|
||
Для линейных стационарных фильтров: $g = \hat{\Lambda}[f]$, $\hat{\Lambda}$ - линейное преобразование. Из линейности системы: $f=\sum c_nf_n$, $g_n = c_n \cdot \hat{\Lambda}[f_n]$
|
||
\begin{equation}
|
||
g(t) = \sum c_n \hat{\Lambda}[f_n]
|
||
\end{equation}
|
||
Выбор элементарных слагаемых - собственные векторы.
|
||
\begin{equation}
|
||
f(t) = \sum_n c_n e^{i\omega_n t}
|
||
\end{equation}
|
||
Такое представление - ряд Фурье.
|
||
\subsection*{Спект периодического процесса}
|
||
Периодический процесс - $f(t)=f(t+T)$
|
||
\begin{equation}
|
||
f(t) = \sum_{n=-\inf}^{\inf} c_n e^{in\omega_0 t}
|
||
\end{equation}
|
||
Набор коэффициентов можно найти, домножив обе части прошлого равенства на $e^{-im\omega_0 t}$ и проинтегрировав по периоду:
|
||
\begin{equation}
|
||
c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-in\omega_0 t}dt
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{rect}
|
||
\caption{Периодическая последовательность прямоугольных импульсов} \label{rect}
|
||
\end{figure}
|
||
Рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. \ref{rect}):
|
||
\begin{equation}
|
||
c_n = \frac{1}{T}\int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} e^{-in\omega_0 t}dt = \dfrac{sin(\pi n \tau / T))}{\pi n}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsection*{Свойства спектров}
|
||
Справедливо для произвольного сигнала соотношение неопределенностей:
|
||
\begin{equation}
|
||
\Delta \omega \cdot \Delta t \sim 2\pi
|
||
\end{equation}
|
||
Рассмотрим спектр обрывка синусоиды (цуг):
|
||
\begin{equation}
|
||
f(t) = f_0(t)\cos(\omega_0 t)
|
||
\end{equation}
|
||
Из спектра прямоугольного импульса:
|
||
\begin{equation}
|
||
F(\omega) = \dfrac{\tau}{2}\left[\dfrac{\sin(\omega-\omega_0)\tau /2}
|
||
{(\omega-\omega_0)\tau /2}
|
||
+ \dfrac{\sin(\omega+\omega_0)\tau /2}{\omega+\omega_0)\tau /2}\right]
|
||
\end{equation}
|
||
Получим спектр периодической последовательности цугов (рис. \ref{цуги}):
|
||
\begin{equation}
|
||
F(\omega) = \dfrac{\tau}{2T}\left[\dfrac{\sin(\omega-\omega_0)\tau /2}
|
||
{(\omega-\omega_0)\tau /2}
|
||
+ \dfrac{\sin(\omega+\omega_0)\tau /2}{(\omega+\omega_0)\tau /2}\right]
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{цуги}
|
||
\caption{Периодическая последовательность цуг} \label{цуги}
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
\subsection*{Модуляция}
|
||
Модулированные колебания:
|
||
\begin{equation}
|
||
f(t) = a(t) \cos (\omega_0 t+\varphi(t))
|
||
\end{equation}
|
||
Простейшее амплитудно-модулированное колебание:
|
||
\begin{equation}
|
||
f(t)= a(t) \cos (\omega_0 t), \hspace{3mm} a(t) = a_0(1+m\cos(\Omega t))
|
||
\end{equation}
|
||
В выражении $0 < m \leq 1$ - глубина модуляции, выражается:
|
||
\begin{equation}
|
||
m = \dfrac{a_{max}-a_{min}}{a_{max}+a_{min}}
|
||
\end{equation}
|
||
Из прошлой формулы можно получить:
|
||
\begin{equation}
|
||
f(t) = a_0 \cos (\omega_0 t) +\dfrac{ma_0}{2}\cos (\omega_0 +\Omega)t++\dfrac{ma_0}{2}\cos (\omega_0 -\Omega)t
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\section{Методика измерений}
|
||
В работе используются генератор сигналов произвольной формы, цифровой осциллограф с функцией быстрого преобразования Фурье.
|
||
|
||
\section{Измерения и обработка данных}
|
||
\subsection*{Исследования спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов}
|
||
На генераторе создается сигнал с разными параметрами, по которому на экране осциллографа получается спектр (рис. \ref{прямоуг})
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1_1}} a) $\nu_{повт} = 1000 Гц, \tau = 50 мкс$\\
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1_2}} \\b) $\nu_{повт} = 1400 Гц, \tau = 50 мкс$
|
||
\end{minipage}
|
||
\vfill
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1_3}} c) $\nu_{повт} = 700 Гц, \tau = 50 мкс$ \\
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1_4}} d) $\nu_{повт} = 1000 Гц, \tau = 70 мкс$ \\
|
||
\end{minipage}
|
||
\caption{Спектры прямоугольных импульсов}
|
||
\label{прямоуг}
|
||
\end{figure}
|
||
При $\nu_{повт} = 700 Гц$ проведены измерения ширины спектра. Результаты
|
||
представлены в таблице \ref{dnu(tau)_tbl} и на рисунке \ref{dnu(tau)_img}.
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\caption{Зависимость ширины спектра от длительности спектра} \label{dnu(tau)_tbl}
|
||
\begin{tabular}{|l|l|}
|
||
\hline
|
||
$\Delta\nu$, Hz & $\tau$, мкс \\ \hline
|
||
50200 & 20 \\ \hline
|
||
25200 & 40 \\ \hline
|
||
17200 & 60 \\ \hline
|
||
13000 & 80 \\ \hline
|
||
10200 & 100 \\ \hline
|
||
8600 & 120 \\ \hline
|
||
7400 & 140 \\ \hline
|
||
6600 & 160 \\ \hline
|
||
5800 & 180 \\ \hline
|
||
5000 & 200 \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=\textwidth]{dnu(tau)}
|
||
\caption{Зависимость ширины спектра от длительности спектра} \label{dnu(tau)_img}
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
Рассчитаем коэффициент наклона прямой:
|
||
\begin{equation}
|
||
k = 0.9997 \pm 0.0039
|
||
\end{equation}
|
||
Полученное значение близко к $1$, что подтверждает соотношение неопределенностей.
|
||
|
||
|
||
Для одного из сигналов (a) рассчитаем теоретическую зависимость и изобразим на графике \ref{теор}. Теоретический и экспериментальный спектр похожи.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=\textwidth]{a(n)}
|
||
\caption{Теоретический спектр прямоугольных импульсов} \label{теор}
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\subsection{Исследование спектра периодической последовательности цугов гармонических колебаний}
|
||
На генераторе создается сигнал последовательности синусоидальных цугов с разными параметрами, по которому на экране осциллографа получается спектр. (рис. \ref{спектр_цуги})
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_1}} a) $\nu = 50 кГц, T = 1 мс, N = 5$\\
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_2}} \\b) $\nu = 50 кГц, T = 1 мс, N = 3$
|
||
\end{minipage}
|
||
\vfill
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_3}} c) $\nu = 50 кГц, T = 3 мс, N = 5$ \\
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_4}} d) $\nu = 30 кГц, T = 1 мс, N = 5$ \\
|
||
\end{minipage}
|
||
\vfill
|
||
\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth}
|
||
\center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_5}} \\e) $\nu = 70 кГц, T = 1 мс, N = 5$
|
||
\end{minipage}
|
||
\caption{Вид спектра при разных параметрах спектра}
|
||
\label{спектр_цуги}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
При фиксированной длительности импульсов $\tau$ = 50 мкс измерим расстояния между соседними спектральными компонентами от периода повторения импульсов (табл. \ref{dnu(T)_tbl}, рис. \ref{dnu(T)_img})
|
||
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\caption{Зависимость расстояния между соседними спектральными компонентами от периода повторения импульсов} \label{dnu(T)_tbl}
|
||
\begin{tabular}{|l|l|}
|
||
\hline
|
||
T, ms & $\delta \nu$, Hz \\ \hline
|
||
0.2 & 6250 \\ \hline
|
||
1 & 2778 \\ \hline
|
||
1.5 & 4167 \\ \hline
|
||
2 & 1042 \\ \hline
|
||
2.5 & 1190 \\ \hline
|
||
3 & 735 \\ \hline
|
||
3.5 & 893 \\ \hline
|
||
4 & 1000 \\ \hline
|
||
4.5 & 1042 \\ \hline
|
||
5 & 1190 \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{T(dnu)}
|
||
\caption{Зависимость расстояния между соседними спектральными компонентами от периода повторения импульсов} \label{dnu(T)_img}
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Точки должны хорошо ложиться на прямую, однако из графика видно, что это не так. Проблема заключается в снятии данных (был выбран неверный канал при курсорных измерениях). Поэтому подтвердить справедливость соотношения неопределенности невозможно.
|
||
|
||
\subsection{Исследование спектра гармонических сигналов, модулированных по амплитуде}
|
||
На генераторе создается сигнал, модулированных по амплитуде, по которому на экране осциллографа получается спектр (\ref{мод}).
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=\textwidth]{3}
|
||
\caption{Спектр сигнала, модулированного по амплитуде} \label{мод}
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
Измерим с помощью осциллографа глубину модуляции:
|
||
\begin{equation}
|
||
m = \dfrac{A_{max}-A_{min}}{A_{max}+A_{min}} = \dfrac{1.54 - 0.04}{1.54 + 0.04} = 0.5, что сходится с установленным на генераторе
|
||
\end{equation}
|
||
Изменяя глубину модуляции, измерим $\dfrac{a_{бок}}{а_{осн}}$ (табл. \ref{mod_tbl} и рис. \ref{mod_img}).
|
||
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\caption{Зависимость $\dfrac{a_{бок}}{а_{осн}}$ от $m$}
|
||
\label{mod_tbl}
|
||
\begin{tabular}{|l|l|l|}
|
||
\hline
|
||
m & a\_бок & a\_центр \\ \hline
|
||
50 & 186 & 738 \\ \hline
|
||
10 & 38 & 738 \\ \hline
|
||
20 & 74 & 738 \\ \hline
|
||
30 & 110 & 738 \\ \hline
|
||
40 & 150 & 738 \\ \hline
|
||
60 & 222 & 738 \\ \hline
|
||
70 & 258 & 738 \\ \hline
|
||
80 & 298 & 738 \\ \hline
|
||
90 & 334 & 738 \\ \hline
|
||
100 & 370 & 738 \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{a(m)}
|
||
\caption{Зависимость $\dfrac{a_{бок}}{а_{осн}}$ от $m$} \label{mod_img}
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
Определим коэффициент наклона прямой:
|
||
\begin{equation}
|
||
k = 0.502 \pm 0.002
|
||
\end{equation}
|
||
Результат сходится с предсказанным теоретически (0.5).
|
||
|
||
\section{Выводы}
|
||
|
||
|
||
1. При исследовании последовательности прямоугольных импульсов получена зависимость ширины спектра от длительности импульса, что подтверждает соотношение неопределенностей: $\tau \cdot \Delta\nu \sim 1$.
|
||
|
||
2. Проверены теоретические расчеты спектра при прямоугольных импульсах (теоретическая и экспериментальная картины схожи).
|
||
|
||
3. При обработке данных от спектра периодической последовательности цугов была обнаружена ошибка при снятии данных, что не позволило проверить соотношение неопределенностей.
|
||
|
||
4. Получен угол наклона графика зависимости $\dfrac{a_{бок}}{а_{осн}}$ от $m$ (0.5), подтверждено теоретическое значение этого угла (0.5).
|
||
|
||
\end{document} |