220 lines
19 KiB
TeX
220 lines
19 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
|
||
|
||
% report, book
|
||
|
||
% Рисунки
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{wrapfig}
|
||
\usepackage{mathtext}
|
||
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
|
||
top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
|
||
|
||
\usepackage{hyperref}
|
||
\usepackage[rgb]{xcolor}
|
||
\hypersetup{ % Гиперссылки
|
||
colorlinks=true, % false: ссылки в рамках
|
||
urlcolor=blue % на URL
|
||
}
|
||
|
||
% Русский язык
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
|
||
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
|
||
\addto\captionsrussian{\def\refname{Список используемой литературы}}
|
||
|
||
|
||
% Математика
|
||
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
|
||
\usepackage{titlesec}
|
||
\titlelabel{\thetitle.\quad}
|
||
|
||
\usepackage{wasysym}
|
||
|
||
\begin{document}\begin{titlepage}
|
||
|
||
\thispagestyle{empty}
|
||
|
||
\centerline{МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ}
|
||
\centerline{(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)}
|
||
|
||
\vfill
|
||
|
||
\centerline{\huge{Лабораторная работа 3.2.5}}
|
||
\centerline{\LARGE{<<Вынужденные колебания в электрическом контуре>>}}
|
||
|
||
\vfill
|
||
|
||
Студент группы Б02-109 \hfill Назарчук Анна
|
||
|
||
\vfill
|
||
|
||
\centerline{Долгопрудный, 2022}
|
||
\clearpage
|
||
\end{titlepage}
|
||
|
||
\section{Аннотация}
|
||
В работе исследованы вынужденные колебания в электрическом контуре, рассчитана добротность контура различными способами. Измерения проведены на параллельном колебательном контуре с вынуждающей силой, меняющейся гармонически непрерывно или в форме цугов. Вычислены теоретическое значение добротности, добротность при измерении ширины резонансной кривой, значение при исследовании нарастания колебаний. Рассчитанные значения расходятся.
|
||
|
||
\section{Введение}
|
||
Совсем несложно представить обычные детские качели. В зависимости от их строения, какие-то было легко раскачать, для каких-то требовались усилия. Но если начать двигаться с определенной частотой, то качели быстро начинают колебаться с большой амплитудой. Но, к сожалению, если перестать двигаться, то через некоторое время колебания станут совсем небольшими. Похожие явления наблюдаются и в электрических цепях, состоящих из катушек, резисторов, конденсаторов. Интересно, можно ли численно описать эти эффекты с помощью одной какой-то величины? Ответу на этот вопрос и наблюдению вышеописанных явлений в электрической цепи посвящена работа.
|
||
|
||
\section{Методика измерений}
|
||
\subsection*{Вводная часть}
|
||
<<Раскачкой>> электрической цепи называют вынужденные колебания, в работе рассмотрена вынуждающая сила, гармонически меняющаяся во времени. При подключении к контуру внешнего синусоидального источника в
|
||
нём возникают колебания, которые можно представить как суперпозицию
|
||
двух синусоид \cite{labnik} первая — с частотой собственных колебаний
|
||
контура и амплитудой, экспоненциально убывающей со временем; вторая
|
||
— с частотой внешнего источника и постоянной амплитудой. Со временем
|
||
собственные колебания затухают, и в контуре устанавливаются
|
||
вынужденные колебания. Зависимость амплитуды установившихся
|
||
колебаний от частоты внешнего сигнала называется резонансной
|
||
кривой. Ширина некоторой высоте (0.707 от максимальной) $\delta \omega$ определяет насколько близко необходимо подобраться к резонансной частоте $\omega_0$, чтобы достаточно сильно раскачать колебания в контуре, и называется добротностью:
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{кривые}
|
||
Q=\frac{\omega_0}{\delta \omega}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
После этого необходимо рассмотреть установление колебаний, чтобы понять, как связана добротность контура с этим процессом:
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{затухание}
|
||
\caption{Нарастание и затухание вынужденных колебаний при подаче цугов (синусоидальные сигналы, разделенные временем без сигнала)} \label{затухание}.
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
Нарастание и затухание колебаний (рис. \ref{затухание}) можно наблюдать на
|
||
экране осциллографа, если на контур подаются цуги — отрезки синусоиды,
|
||
разделённые интервалами, в течение которых сигнал отсутствует. Теоретически известно, что \cite{labnik}, чем выше добротность, тем медленнее нарастают и медленнее затухают колебания в контуре. Получить значение Q можно по формуле \cite{labnik} (обозначения с рисунка \ref{затухание}):
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{затух}
|
||
Q = \frac{\pi}{\frac{1}{n}ln(\frac{U_\infty-U_k}{U_\infty-U_{k+n}})}
|
||
\end{equation}
|
||
Более того, существует теоретическая формула для добротности (рассмотрен параллельный колебательный контур), которая следует из энергетического смысла добротности:
|
||
В энергетическом смысле добротность $Q$ колебательной системы (механической, электрической, оптической и т. д.) определяется как отношение запасённой в ней энергии $W_0$ к потере $\Delta W$ энергии за время изменения фазы колебания
|
||
на 1 радиан.
|
||
\begin{equation}
|
||
Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
|
||
\label{теор}
|
||
\end{equation}
|
||
\subsection*{Основная часть}
|
||
Получено три способа определения добротности (той самой характеристики, которая численно описывает явления затухания, резонанса колебаний), необходимо практически установить, приводят ли эти способы к одинаковому результату. Соответственно, работа состояла из нескольких частей: теоретический расчет добротности по формуле \ref{теор}, исследование резонансных кривых и процесса нарастания и затухания колебаний.
|
||
|
||
Исследование резонансных кривых проведено при генерации непрерывной синусоиды, при изменении частоты вынуждающих колебаний в разные стороны от резонансного значения. Построена зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты, из нее по формуле \ref{кривые} получена добротность.
|
||
|
||
Затухание и нарастание колебаний наблюдалось при генерации цугов - последовательности синусоидальных сигналов. В условиях резонанса, в которых и исследовалась система, затухание колебаний симметрично их нарастанию.
|
||
|
||
|
||
\subsection*{Экспериментальная установка}
|
||
|
||
Для генерации сигналов и вычисления добротности разными методами собрана экспериментальная установка (рис. \ref{установка}. )
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{установка}
|
||
\caption{Схема экспериментальная установка для исследования вынужденных
|
||
колебаний: ЗГ - звуковой генератор Г3-112, ген. цугов - генератор цугов ЧЗ-57, V - вольтметр В3-38, $R$ - магазин сопротивлений МСР-60, $L$ - магазин индуктивностей P567, ЭО - осциллограф GOS-620, П - панель} \label{установка}.
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Колебательный контур состоял из конденсатора $С $ = 0.1 мкФ, катушки с индуктивностью $L$ = 100 мГн и магазина сопротивлений. Для измерения добротности необходимо было формировать как непрерывные синусоидальные сигналы (с помощью звукового генератора), так и цуги (с помощью генератора цугов).
|
||
|
||
Для визуального наблюдения за процессом колебаний напряжение с конденсатора подано на вход электронного осциллографа. Чтобы картина на экране была устойчивой, частота развёртки осциллографа принудительно синхронизировалась с частотой повторения цугов. Для этого на генератор развёртки осциллографа подавались следующие с частотой повторения цугов управляющие импульсы, формируемые в блоке электронного реле, клемма «синхр.» которого смонтирована на панели. Эффективное значение напряжение на емкости C измерено с помощью вольтметра.
|
||
|
||
\section{Результаты и их обсуждение}
|
||
При непрерывной генерации синусоид получена резонансная кривая в относительных единицах (рис. \ref{график}).
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\begin{center}
|
||
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{graf}
|
||
\caption{Резонансная кривая в относительных единицах: $U/U_m$ - отношение амплитуды к резонансному значению, $\nu/\nu_m$ - отношение частоты к резонансному значению, для параллельного контура $С $ = 0.1 мкФ, $L$ = 100 мГн} \label{график}.
|
||
\end{center}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Вид зависимости схож с табличными представлениями резонансной кривой для параллельного контура \cite{labnik}. На высоте $U/U_m = 0.707$ вычислена ширина графика, рассчитана добротность системы (по формуле \ref{кривые}). (табл. \ref{кривые_табл}).
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\caption{Значение добротности системы при различных сопротивлениях, измерения методом резонансных кривых}
|
||
\label{кривые_табл}
|
||
\begin{tabular}{|l|l|l|}
|
||
\hline
|
||
R, Ом & Q & $\sigma_Q$ \\ \hline
|
||
0 & 20.3 & 0.9 \\ \hline
|
||
100 & 6.3 & 0.4 \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
При генерации цуг на экране осциллографа получены картинки, похожие на рис. \ref{затухание}, однако они не абсолютно неподвижны для камеры, что не позволило запечатлеть их. Но измерены значения некоторых амплитуд колебаний при нарастании колебаний (результаты в приложении в табл. \ref{нарост}). Так как в резонансе (при котором и проведено измерение) затухание и нарастание симметричны, нет необходимости вычислять амплитуды из обоих участков графика.
|
||
|
||
Из полученных данных по формуле \ref{затух} рассчитаны значения добротности (табл. \ref{затух_тбл}).
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\caption{Значение добротности системы при различных сопротивлениях, измерения методом исследования нарастания колебаний}
|
||
\label{затух_тбл}
|
||
\begin{tabular}{|l|l|l|}
|
||
\hline
|
||
R, Om & Q & $\sigma_Q$ \\ \hline
|
||
0 & 22.5 & 2.1 \\ \hline
|
||
100 & 10.1 & 1.5 \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
По формуле \ref{теор} рассчитано теоретическое значение добротности контура:
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\caption{Значение добротности системы при различных сопротивлениях, теоретический расчет}
|
||
\label{теор_тбл}
|
||
\begin{tabular}{|l|l|l|}
|
||
\hline
|
||
R, Om & Q & $\sigma_Q$ \\ \hline
|
||
0 & 33.5 & 1.0 \\ \hline
|
||
100 & 7.7 & 0.5 \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Сведены рассчитанные значения добротности в единую таблицу \ref{един}.
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\caption{Результаты измерения добротности различными методами}
|
||
\label{един}
|
||
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
|
||
\hline
|
||
R, Om & $Q_{рез.крив.}$ & $Q_{затух.}$ & $Q_{теор.}$ \\ \hline
|
||
0 & 20.3 $\pm$ 0.9 & 22.5 $\pm$ 2.1 & 33.5 $\pm$ 1.0\\ \hline
|
||
100 & 6.3 $\pm$ 0.4 & 10.1 $\pm$ 1.5 & 7.7 $\pm$ 0.5 \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Из таблицы видно, что данные не совсем совпадают, это можно объяснить методическими проблемами: резонансное значение частоты определяется не совсем точно (ручным способом), поэтому точки на резонансных кривых теряют в точности; еще число точек невелико, поэтому трудно определить ширину резонансной кривой на той или иной высоте. Также при нарастании колебаний амплитуды определяются из изображения на осциллографе, что также добавляет проблемности результату.
|
||
|
||
\section{Выводы}
|
||
|
||
\hspace{5mm}1. Из эксперементально полученных резонансных кривых, которые видом похожи на теоретически предсказанные, найдены добротность системы, из которых заметна высокодобротность контура ($Q\gg 1$).
|
||
|
||
2. Из исследования нарастания колебаний при резонансной частоте рассчитана добротность системы с большей погрешностью, нежели первым методом.
|
||
|
||
3. Сравнение экспериментальных значений добротности и теоретического ее расчета показал, что результаты не совсем близки друг к другу. Это объясняется проблемами в методике работы: большая часть измерений проведена вручную, из-за чего их небольшое количество и они имеют, возможно, не до конца верные значения. Данная проблема решается при внедрении автоматизации регистрации данных.
|
||
|
||
|
||
|
||
\begin{thebibliography}{}
|
||
\bibitem{labnik} Никулин М.Г., Попов П.В., Нозик А.А. и др. Лабораторный практикум по общей физике : учеб. пособие. В трех томах. Т. 2. Электричество и магнетизм
|
||
\end{thebibliography}
|
||
|
||
|
||
\section*{Приложение}
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\caption{Амплитуды некоторых колебаний при нарастании колебаний при генерации цугов}
|
||
\label{нарост}
|
||
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
|
||
\hline
|
||
$U_k$, mV & $U_{k+n}$, mV & $U_\infty$, mV & n & R=0 Om \\ \hline
|
||
6 & 28 & 56 & 4 & \\ \hline
|
||
5 & 21 & 43 & 4 & \\ \hline
|
||
4 & 18 & 37 & 4 & \\ \hline
|
||
3 & 12 & 26 & 4 & \\ \hline
|
||
2 & 10 & 19 & 4 & \\ \hline
|
||
$U_k$, mV & $U_{k+n}$, mV & $U_\infty$, mV & n & R=100 Om \\ \hline
|
||
2 & 5 & 7 & 3 & \\ \hline
|
||
3 & 7 & 10.5 & 3 & \\ \hline
|
||
4 & 10 & 13 & 3 & \\ \hline
|
||
5 & 13 & 17.5 & 3 & \\ \hline
|
||
7 & 18 & 25 & 3 & \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
\end{document}
|