\documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа % report, book % Рисунки \usepackage{graphicx} \usepackage{wrapfig} \usepackage{mathtext} \usepackage[left=2cm,right=2cm, top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry} \usepackage{hyperref} \usepackage[rgb]{xcolor} \hypersetup{ % Гиперссылки colorlinks=true, % false: ссылки в рамках urlcolor=blue % на URL } % Русский язык \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы % Математика \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} \usepackage{titlesec} \titlelabel{\thetitle.\quad} \usepackage{wasysym} \author{Анна Назарчук Б02-109} \title{3.6.1 Спектральный анализ электрических сигналов} \date{} \begin{document} \maketitle \section{Аннотация} В работе исследованы спектры периодических сигналов: модулированный по амплитуде, прямоугольные импульсы и цуги. Проверены теоретические зависимости параметров спектра на практике. \section{Введение} Многие практические задачи описания поведения некоторой системы во времени зачастую сводятся к выяснению связи между "сигналом", подаваемым на "вход" системы (обозначим его как $f(t)$), и её реакцией на "выходе" $g(t)$). Суть спектрального метода состоит в представлении произвольного воздействия в виде суперпозиции откликов на некоторые элементарные слагаемые. Данный метод используются для анализа многих сигналов, поэтому необходимо экспериментально ознакомиться с ним, сгенерировать и получить на осциллографе спектры различных периодических сигналов, проверить экспериментально соотношение неопределенности и отношения амплитуд гармоник при модулированных по амплитуде сигналах. \section{Методика измерений} В работе используются генератор сигналов произвольной формы, цифровой осциллограф с функцией быстрого преобразования Фурье. Для произвольного сигнала справедливо соотношение неопределенностей: \begin{equation} \Delta \omega \cdot \Delta t \sim 2\pi \end{equation} Работа разделена на три равноценные части, в каждой из которых генерируется сигнал определенной формы, обрабатывается с помощью цифрового осциллографа, проверяются соотношения неопределенности с помощью курсорных измерений. 1. Первая часть работы заключалась в исследовании спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пример показан на рисунке \ref{прямоуг}). \begin{figure}[h!] \includegraphics[width=0.4\textwidth]{rect} \caption{Пример периодической последовательности прямоугольных импульсов} \label{rect} \end{figure} Теоретический расчет дает значение коэффициентов $c_n$: \begin{equation} c_n = \dfrac{sin(\pi n \tau / T))}{\pi n} \end{equation} 2. Вторая часть работы состояла в исследовании спектра периодической последовательности цугов гармонических колебаний (пример показан на рисунке \ref{цуги}). \begin{figure}[h!] \begin{center} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{цуги} \caption{Пример периодической последовательности цуг} \label{цуги} \end{center} \end{figure} Теоретический расчет дает спектр сигнала: \begin{equation} F(\omega) = \dfrac{\tau}{2T}\left[\dfrac{\sin(\omega-\omega_0)\tau /2} {(\omega-\omega_0)\tau /2} + \dfrac{\sin(\omega+\omega_0)\tau /2}{(\omega+\omega_0)\tau /2}\right] \end{equation} 3. Последняя часть заключалась в исследовании спектра гармонических сигналов, модулированных по амплитуде (пример показан на рисунке \ref{модулированный}). \begin{figure}[h!] \begin{center} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Модулированный} \caption{Пример модулированного сигнала} \label{модулированный} \end{center} \end{figure} Теоретический вид сигнала: \begin{equation} f(t) = a_0 \cos (\omega_0 t) +\dfrac{ma_0}{2}\cos (\omega_0 +\Omega)t++\dfrac{ma_0}{2}\cos (\omega_0 -\Omega)t \end{equation} \section{Измерения и обработка данных} \subsection*{Исследования спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов} На генераторе создается сигнал с разными параметрами, по которому на экране осциллографа получается спектр (рис. \ref{прямоуг}) \begin{figure}[h!] \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1_1}} a) $\nu_{повт} = 1000 Гц, \tau = 50 мкс$\\ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1_2}} \\b) $\nu_{повт} = 1400 Гц, \tau = 50 мкс$ \end{minipage} \vfill \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1_3}} c) $\nu_{повт} = 700 Гц, \tau = 50 мкс$ \\ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1_4}} d) $\nu_{повт} = 1000 Гц, \tau = 70 мкс$ \\ \end{minipage} \caption{Спектры прямоугольных импульсов} \label{прямоуг} \end{figure} При $\nu_{повт} = 700 Гц$ проведены измерения ширины спектра. Результаты представлены в таблице \ref{dnu(tau)_tbl} и на рисунке \ref{dnu(tau)_img}. \begin{table}[h!] \caption{Зависимость ширины спектра от длительности спектра} \label{dnu(tau)_tbl} \begin{tabular}{|l|l|} \hline $\Delta\nu$, Hz & $\tau$, мкс \\ \hline 50200 & 20 \\ \hline 25200 & 40 \\ \hline 17200 & 60 \\ \hline 13000 & 80 \\ \hline 10200 & 100 \\ \hline 8600 & 120 \\ \hline 7400 & 140 \\ \hline 6600 & 160 \\ \hline 5800 & 180 \\ \hline 5000 & 200 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{figure}[h!] \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{dnu(tau)} \caption{Зависимость ширины спектра от длительности спектра} \label{dnu(tau)_img} \end{center} \end{figure} Рассчитаем коэффициент наклона прямой: \begin{equation} k = 0.9997 \pm 0.0039 \end{equation} Полученное значение близко к $1$, что подтверждает соотношение неопределенностей. Для одного из сигналов (a) рассчитаем теоретическую зависимость и изобразим на графике \ref{теор}. Теоретический и экспериментальный спектр похожи. \begin{figure}[h!] \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{a(n)} \caption{Теоретический спектр прямоугольных импульсов} \label{теор} \end{center} \end{figure} \subsection{Исследование спектра периодической последовательности цугов гармонических колебаний} На генераторе создается сигнал последовательности синусоидальных цугов с разными параметрами, по которому на экране осциллографа получается спектр. (рис. \ref{спектр_цуги}) \begin{figure}[h!] \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_1}} a) $\nu = 50 кГц, T = 1 мс, N = 5$\\ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_2}} \\b) $\nu = 50 кГц, T = 1 мс, N = 3$ \end{minipage} \vfill \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_3}} c) $\nu = 50 кГц, T = 3 мс, N = 5$ \\ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_4}} d) $\nu = 30 кГц, T = 1 мс, N = 5$ \\ \end{minipage} \vfill \begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2_5}} \\e) $\nu = 70 кГц, T = 1 мс, N = 5$ \end{minipage} \caption{Вид спектра при разных параметрах спектра} \label{спектр_цуги} \end{figure} При фиксированной длительности импульсов $\tau$ = 50 мкс измерим расстояния между соседними спектральными компонентами от периода повторения импульсов (табл. \ref{dnu(T)_tbl}, рис. \ref{dnu(T)_img}) \begin{table}[h!] \caption{Зависимость расстояния между соседними спектральными компонентами от периода повторения импульсов} \label{dnu(T)_tbl} \begin{tabular}{|l|l|} \hline T, ms & $\delta \nu$, Hz \\ \hline 0.2 & 6250 \\ \hline 1 & 2778 \\ \hline 1.5 & 4167 \\ \hline 2 & 1042 \\ \hline 2.5 & 1190 \\ \hline 3 & 735 \\ \hline 3.5 & 893 \\ \hline 4 & 1000 \\ \hline 4.5 & 1042 \\ \hline 5 & 1190 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{figure}[h!] \begin{center} \includegraphics[width=0.9\textwidth]{T(dnu)} \caption{Зависимость расстояния между соседними спектральными компонентами от периода повторения импульсов} \label{dnu(T)_img} \end{center} \end{figure} Точки должны хорошо ложиться на прямую, однако из графика видно, что это не так. Проблема заключается в снятии данных (был выбран неверный канал при курсорных измерениях). Поэтому подтвердить справедливость соотношения неопределенности невозможно. \subsection{Исследование спектра гармонических сигналов, модулированных по амплитуде} На генераторе создается сигнал, модулированных по амплитуде, по которому на экране осциллографа получается спектр (\ref{мод}). \begin{figure}[h!] \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{3} \caption{Спектр сигнала, модулированного по амплитуде} \label{мод} \end{center} \end{figure} Измерим с помощью осциллографа глубину модуляции: \begin{equation} m = \dfrac{A_{max}-A_{min}}{A_{max}+A_{min}} = \dfrac{1.54 - 0.04}{1.54 + 0.04} = 0.5, что сходится с установленным на генераторе \end{equation} Изменяя глубину модуляции, измерим $\dfrac{a_{бок}}{а_{осн}}$ (табл. \ref{mod_tbl} и рис. \ref{mod_img}). \begin{table}[h!] \caption{Зависимость $\dfrac{a_{бок}}{а_{осн}}$ от $m$} \label{mod_tbl} \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline m & a\_бок & a\_центр \\ \hline 50 & 186 & 738 \\ \hline 10 & 38 & 738 \\ \hline 20 & 74 & 738 \\ \hline 30 & 110 & 738 \\ \hline 40 & 150 & 738 \\ \hline 60 & 222 & 738 \\ \hline 70 & 258 & 738 \\ \hline 80 & 298 & 738 \\ \hline 90 & 334 & 738 \\ \hline 100 & 370 & 738 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{figure}[h!] \begin{center} \includegraphics[width=0.9\textwidth]{a(m)} \caption{Зависимость $\dfrac{a_{бок}}{а_{осн}}$ от $m$} \label{mod_img} \end{center} \end{figure} Определим коэффициент наклона прямой: \begin{equation} k = 0.502 \pm 0.002 \end{equation} Результат сходится с предсказанным теоретически (0.5). \section{Выводы} 1. При исследовании последовательности прямоугольных импульсов получена зависимость ширины спектра от длительности импульса, что подтверждает соотношение неопределенностей: $\tau \cdot \Delta\nu \sim 1$. 2. Проверены теоретические расчеты спектра при прямоугольных импульсах (теоретическая и экспериментальная картины схожи). 3. При обработке данных от спектра периодической последовательности цугов была обнаружена ошибка при снятии данных, что не позволило проверить соотношение неопределенностей. 4. Получен угол наклона графика зависимости $\dfrac{a_{бок}}{а_{осн}}$ от $m$ (0.5), подтверждено теоретическое значение этого угла (0.5). \end{document}