266 lines
18 KiB
TeX
266 lines
18 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
|
|||
|
|
|||
|
% report, book
|
|||
|
|
|||
|
% Рисунки
|
|||
|
\usepackage{graphicx}
|
|||
|
\usepackage{wrapfig}
|
|||
|
\usepackage{mathtext}
|
|||
|
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
|
|||
|
top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
|
|||
|
\usepackage[usenames]{color}
|
|||
|
\usepackage{colortbl}
|
|||
|
|
|||
|
\usepackage{hyperref}
|
|||
|
\usepackage[rgb]{xcolor}
|
|||
|
\hypersetup{ % Гиперссылки
|
|||
|
colorlinks=true, % false: ссылки в рамках
|
|||
|
urlcolor=blue % на URL
|
|||
|
}
|
|||
|
|
|||
|
% Русский язык
|
|||
|
\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
|
|||
|
\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
|
|||
|
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
|
|||
|
\addto\captionsrussian{\def\refname{Список используемой литературы}}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
% Математика
|
|||
|
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
|
|||
|
\usepackage{titlesec}
|
|||
|
\titlelabel{\thetitle.\quad}
|
|||
|
|
|||
|
\usepackage{wasysym}
|
|||
|
|
|||
|
\author{Анна Назарчук Б02-109}
|
|||
|
\title{Вопрос по выбору. Эффект Холла, автоматизация лабораторной работы и ферромагнетики.
|
|||
|
|
|||
|
\textcolor[gray]{0.4}{(Винни-Пух и все-все-все)}}
|
|||
|
\date{}
|
|||
|
\begin{document}
|
|||
|
\maketitle
|
|||
|
\section{Цели}
|
|||
|
Провести эксперимент по исследованию ЭДС Холла, уменьшить погрешности результатов за счет автоматизации работы, возможно, найти новые качества в работе.
|
|||
|
|
|||
|
\section{Теория про эффект Холла}
|
|||
|
|
|||
|
Во внешнем магнитном поле $B$ на заряды действует сила Лоренца:
|
|||
|
\begin{equation}
|
|||
|
F = qE+qu\times B
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
|
|||
|
Эта сила вызывает движение носителей, направление которого в общем
|
|||
|
случае не совпадает с $E$. Действительно, траектории частиц будут либо
|
|||
|
искривляться, либо, если геометрия проводника этого не позволяет,
|
|||
|
возникнет дополнительное электрическое поле, компенсирующее магнитную
|
|||
|
составляющую силы Лоренца. Возникновение поперечного току
|
|||
|
электрического поля в образце, помещённом во внешнее магнитное поле,
|
|||
|
называют \textsf{эффектом Холла}.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.46\textwidth]{Teor}
|
|||
|
\caption{Силы, действующие на положительный носитель заряда в проводящей
|
|||
|
среде при наличии магнитного поля} \label{силы}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
Пусть система содержит носители только одного типа (например,
|
|||
|
электроны, как в большинстве металлов). Рассмотрим случай плоской геометрии: пусть ток течёт вдоль оси $x$, а магнитное поле направлено вдоль оси $x$ (см. рис. \ref{силы}). Магнитное поле действует на движущиеся заряды с силой $F_y=-qu_xB_z$ по оси $y$. Ток сможет
|
|||
|
течь строго вдоль оси $x$, если заряды в среде перераспределятся таким
|
|||
|
образом, чтобы полностью скомпенсировать магнитную силу, создав в
|
|||
|
направлении $y$ электрическое поле:
|
|||
|
\begin{equation}
|
|||
|
\label{E_y}
|
|||
|
E_y=u_xB_z=\dfrac{j_x}{nq}B_z
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
называемое \textsf{холловским} (здесь $n$ — концентрация носителей). По оси
|
|||
|
$x$ носители будут двигаться так, как если бы магнитного поля не было:
|
|||
|
$j_x=\sigma_0 E_x (j_y = j_z = 0)$, где $\sigma_0 = qn\mu$ — удельная проводимость среды в отсутствие $B$.
|
|||
|
|
|||
|
Для исследования зависимости проводимости среды от магнитного
|
|||
|
поля в данной работе используется \textsf{мостик Холла} (рис. \ref{мостик}).
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.46\textwidth]{Мостик}
|
|||
|
\caption{Схема для исследования влияния магнитного поля на проводящие
|
|||
|
свойства - мостик Холла} \label{мостик}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
В данной схеме ток вынуждают
|
|||
|
течь по оси $x$ вдоль плоской пластинки (ширина пластинки $a$, толщина $h$,
|
|||
|
длина $l$). Сила Лоренца, действующая со стороны перпендикулярного
|
|||
|
пластинке магнитного поля, «прибивает» носители заряда к краям образца,
|
|||
|
что создаёт холловское электрическое поле, компенсирующее эту
|
|||
|
силу. Поперечное напряжение между краями пластинки (\textsf{холловское
|
|||
|
напряжение}) равно $U_\perp = E_ya$, где, согласно уравнению (\ref{E_y}):
|
|||
|
\begin{equation}
|
|||
|
E_y=u_xB_z=\dfrac{j_x}{nq}B
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
Плотность тока, текущего через образец, равна $j_x=I/ah$, где $I$ — полный
|
|||
|
ток, $ah$ — поперечное сечение. Таким образом, для холловского напряжения
|
|||
|
имеем
|
|||
|
\begin{equation}
|
|||
|
\label{формула}
|
|||
|
U_\perp = \frac{B}{nqh}\cdot I=R_H\cdot \frac{B}{h}\cdot I,
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
где константу
|
|||
|
\begin{equation}
|
|||
|
R_H = \frac{1}{nq}
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
называют \textsf{постоянной Холла}. Знак постоянной Холла определяется
|
|||
|
знаком заряда носителей.
|
|||
|
Продольная напряжённость электрического поля равна
|
|||
|
\begin{equation}
|
|||
|
E_x=j_x/\sigma_0
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
и падение напряжения $U_\parallel = E_x l$ вдоль пластинки определяется омическим
|
|||
|
сопротивлением образца $R_0 = l/(\sigma_0 a h)$:
|
|||
|
\begin{equation}
|
|||
|
U_\parallel = IR_0
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\section{Автоматизация}
|
|||
|
|
|||
|
\subsection*{Методика существующей работы}
|
|||
|
Схема представлена на рис. \ref{старая}.
|
|||
|
Работа состояла из 4 частей:
|
|||
|
|
|||
|
Калибровка электромагнита: здесь определяется зависимость магнитной индукции в зазоре электромагнита от тока через магнит.
|
|||
|
|
|||
|
Измерение ЭДС Холла – определяется разность потенциалов на образце при различных значениях силы тока через электромагнит и образец.
|
|||
|
|
|||
|
Определение знака носителей – делаются выводы о характере проводимости по направлениям тока.
|
|||
|
|
|||
|
Измерение удельной проводимости – на образец подается небольшое напряжение, измеряется ток через него.
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.66\textwidth]{Схема_ст}
|
|||
|
\caption{Схема лабораторной работы для исследования эффекта Холла} \label{старая}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\subsection*{Проблемы у существующей работы}
|
|||
|
У данной работы есть недостатки, основные содержатся в первых двух частях работы.
|
|||
|
|
|||
|
\textbf{Градуировка электромагнита}. Каждое измерение необходимо записать в лабораторный журнал. Это достаточно трудоемко, поэтому получается малое количество. Из-за этого у градуировочных коэффициентов возникают высокие погрешности.
|
|||
|
|
|||
|
\textbf{Измерение ЭДС Холла}. Измерение тока через образец реализовано с помощью аналогового амперметра с высокой погрешностью. Также невозможно регулировать изменение тока через образец, так как осуществляется при помощи реостата без шкалы. И опять же малое количество измерений из-за высокой трудоемкости.
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\subsection*{Обновленный вариант}
|
|||
|
Схема обновленной работы представлена на рис. \ref{новая}. Изменения на схемы выделены цветом: все, возможные для подключения, приборы соединены с компьютером. Связь с ними осуществляется при помощи USB-портов. Данные с приборов сохраняются в файлы. Каждая из частей лабораторной представлена в виде отдельного окна в программном обеспечении. Добавлена часть с автоматическим построением графиков и вычислением постоянных образца. Заменены некоторые приборы: аналоговый амперметр на цифровой, батарейка с реостатом без шкалы на программируемый источник питания.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.76\textwidth]{Установка}
|
|||
|
\caption{Обновленная схема лабораторной работы для исследования эффекта Холла} \label{новая}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
Кроме схемы установки изменения видны и на фотографиях (рис. \ref{старое_фото}, \ref{новое_фото}).
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{старая_картинка}
|
|||
|
\caption{Фотография установки по исследованию эффекта Холла, исходный вариант)} \label{старое_фото}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{новая_картинка}
|
|||
|
\caption{Фотография установки по исследованию эффекта Холла, обновленный вариант)} \label{новое_фото}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
У обновленного варианта есть свои преимущества:
|
|||
|
|
|||
|
1) Автоматическое получение данных понижает трудоемкость измерений и позволяет сделать большее их число. Из-за этого повышается точность постоянных образца.
|
|||
|
|
|||
|
2) Также аналоговый амперметр заменен более точным цифровым и добавлен источник питания образца с возможность регулировки тока.
|
|||
|
|
|||
|
3) Есть автоматический контроль чрезмерно больших токов через образец, что предотвращает его повреждение.
|
|||
|
|
|||
|
4) Появилась возможность сделать выводы о работе сразу из-за компьютерной обработки результатов.
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\subsection*{Результаты автоматизации}
|
|||
|
Лабораторная работа была выполнена на исходной установке и на автоматизированной. Результаты в виде зависимости ЭДС Холла от тока через образец представлены на рис. \ref{старый_график} и рис. \ref{новый_график}.
|
|||
|
Изменения заметны. Во-первых, количество точек значительно выросло: с 50 до 200, то есть в 4 раза. Во-вторых, погрешности отдельных точек уменьшились: только за счет смены амперметра в 300 раз. В-третьих, погрешность коэффицента наклона прямой уменьшилась в более чем 3 раза (с 11 \% до 3).
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.86\textwidth]{Старая}
|
|||
|
\caption{Зависимость ЭДС Холла от тока через образец и магнитной индукции в исходном варианте работы} \label{старый_график}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.78\textwidth]{Chart}
|
|||
|
\caption{Зависимость ЭДС Холла от тока через образец и магнитной индукции в обновленном варианте работы} \label{новый_график}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
\subsection*{Новое качество}
|
|||
|
Однако в процессе измерений было обнаружено, что зависимость магнитного поля в электромагните от тока через него не линейна (рис. \ref{grad}).
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.78\textwidth]{Graduation_chart}
|
|||
|
\caption{Зависимость магнитной индукции в зазоре электромагнита от тока через него} \label{grad}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
Но из теоремы о циркуляции магнитного поля (в системе СГС):
|
|||
|
\begin{equation}
|
|||
|
\oint_L H \cdot dl =\frac{4\pi}{c}J
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
Видно, что ток и напряженность магнитного поля связаны прямой пропорциональностью. То есть есть нелинейная зависимость $B$ от $H$ в электромагните.
|
|||
|
|
|||
|
Существуют вещества трех типов: пара-, диа- и ферромагнетики. Однако для первых двух зависимость $B$ от $H$ линейна. Из чего следует, что электромагнит создан из ферромагнитного материала (таковым является, например, железо).
|
|||
|
|
|||
|
Теперь интересно сравнить полученную зависимость с теоретической ( в форме графика на рис. \ref{фер}. Они, как и ожидалось, подобны друг другу, что подтверждает материал электромагнита.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.38\textwidth]{ферро}
|
|||
|
\caption{Теоретическая зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля для ферромагнетика} \label{фер}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\section{Проблемы}
|
|||
|
\subsection*{Неавтоматизированные части}
|
|||
|
На текущий момент работа не является полностью автоматизированной. Это не получилось в данном семестре, так как не было высоковольтного источника питания и измерителя магнитной индукции с возможностью программирования. Еще есть проблема с подключением в виде коробки (рис. \ref{коробка}). Но изменить ее было невозможным, так как установку каждый раз необходимо было возвращать в исходное состояние.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{figure}[h!]
|
|||
|
\begin{center}
|
|||
|
\includegraphics[width=0.68\textwidth]{corob}
|
|||
|
\caption{Блок управления лабораторной работой} \label{коробка}
|
|||
|
\end{center}
|
|||
|
\end{figure}
|
|||
|
|
|||
|
\subsection*{Неудавшиеся измерения}
|
|||
|
Были предприняты попытки обнаружить эффект Холла в металлах, использую то же оборудование. Однако в металлах постоянная Холла $R_H \approx 10^{-10}$, толщина образца порядка сотых долей миллиметра, пропускаемый допустимый ток около 1 мА, магнитная индукция около 1 Тл. Поэтому (из формулы \ref{формула}) измеряемое напряжение было бы порядка $10^{-9}$ В, предел вольтметра при этом - десятые доли мкВ. Поэтому измерения не привели ни к чему хорошему.
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\section{Выводы}
|
|||
|
|
|||
|
\hspace{5mm} 1. Получение данных напрямую с приборов увеличило скорость работы
|
|||
|
|
|||
|
2. Автоматизация и замена аналоговых приборов сделали работу существенно точнее
|
|||
|
|
|||
|
3. Благодаря автоматизации удалось достаточно быстро получить зависимость магнитной индукции от тока в электромагните, сделать вывод о ферромагнетизме материала.
|
|||
|
|
|||
|
4. Однако есть и проблемы, но их решение существует.
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\end{document}
|