Add 361 and 351 lab

\

3.5.1-ne-plasma/latex-pattern/preamble.tex

@@ -7,14 +7,19 @@
 \usepackage[english,russian]{babel}
 \usepackage{indentfirst}
 
-\usepackage{graphicx}
+\usepackage{graphicx,wrapfig,subfig}
 \usepackage{xcolor}
 
-\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathrsfs,mathtools}
 
 \usepackage[some]{background}
 \usepackage{paratype}
 
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{multirow}
+\usepackage[colorlinks, linkcolor = blue]{hyperref}
+
+
 \definecolor{titlepagecolor}{cmyk}{1,.60,0,.40}
 
 \DeclareFixedFont{\bigsf}{T2A}{PTSans-TLF}{b}{n}{1.4cm}

3.5.1-ne-plasma/main.tex

@@ -2,19 +2,209 @@
 
 \newcommand{\artitle}{Изучение плазмы газового\\[9pt] разряда в неоне}
 
-\newcommand{\arabstract}{Аннотация должна кратко отражать содержание всей работы.}
+\newcommand{\arabstract}{В работе изучается плазма газового разряда в неоне, ВАХ разряда и описание свойств полученной плазмы с помощью некоторых параметров.}
+
+\newcommand{\imageheight}{8cm}
 
 \begin{document}
 
 \input{latex-pattern/titlepage}
 
-\section*{Введение}
-Введение говорит читателю о том, что мы уже знаем (подкрепляя ссылками), что мы хотим изучить и зачем мы хотим это изучать.
+\section{Введение}
+Плазмой называют четвёртое агрегатное состояние, при котором вещество (в нашем случае это неон) диссоциирует на газ из свободных ионов, электронов и нейтральных частиц, которые не распались. Поведение этого газа можно описать множеством параметров, таких как температура, плазменная частота, радиус Дебая, среднее число ионов в дебаевской сфере. В этой работе мы постараемся подробно изучить поведение плазмы на примере двойного зонда и разряда.
+
+\section{Теоретическая справка}
+
+\subsection*{Плазма}
+В ионизированном газе поле ионов <<экранируется>> электронами. Для поля $\mathbf{E}$ и плотности $\rho$ электрического заряда
+$$
+\text{div}~\mathbf{E} = 4 \pi \rho,
+$$
+а с учётом сферической симметрии и $\mathbf{E} = -\text{grad}~\varphi$:
+\begin{equation}
+    \dfrac{d^2 \varphi}{dr^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{d\varphi}{dr}=-4\pi \rho.
+\end{equation}
+Плотности заряда электронов и ионов (которые мы считаем бесконечно тяжёлыми и поэтому неподвижными)
+\begin{equation}
+    \begin{array}{c}
+        \rho_e = -ne \cdot \exp\left(\dfrac{e\varphi}{kT_e}\right),\\
+        \rho_i = ne.
+    \end{array}
+\end{equation}
+Тогда из $(1)$ в предположении $\dfrac{e\varphi}{kT_e} \ll 1$ получим
+\begin{equation}
+    \varphi = \dfrac{Ze}{r}e^{-r/r_D},
+\end{equation}
+где $r_D = \sqrt{\dfrac{kT_e}{4\pi n e^2}}$ -- \textit{радиус Дебая}. Среднее число ионов в сфере такого радиуса 
+\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
+    \includegraphics[scale=0.5]{images/figure.png}
+    \caption{Плазменные колебания}
+\end{wrapfigure}  
+\begin{equation}
+    N_D = n\dfrac{4}{3}\pi r_D^2.
+\end{equation}
+Теперь выделим параллелепипед с плотностью $n$ электронов, сместим их на $x$. Возникнут поверхностные заряды $\sigma = nex$, поле от которых будет придавать электронам ускорение:
+$$
+\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{eE}{m}=-\dfrac{4\pi n e^2}{m}x.
+$$ 
+Отсюда получаем \textit{плазменную (ленгмюровскую) частоту} колебаний электронов:
+\begin{equation}
+    \omega_p = \sqrt{\dfrac{4\pi ne^2}{m}}.
+\end{equation}
+\subsection*{Одиночный зонд}
+При внесении в плазму уединённого проводника -- \textit{зонда} -- с потенциалом, изначально равным потенциалу точки плазмы, в которую его помещают, на него поступают токи электроннов и ионов:
+\begin{equation}
+    \begin{array}{c}
+        I_{e0} = \dfrac{n \langle v_e \rangle}{4}eS,\\
+        I_{i0} = \dfrac{n \langle v_i \rangle}{4}eS,
+    \end{array}
+\end{equation}
+где $\langle v_e \rangle$ и $\langle v_i \rangle$ -- средние скорости электронов и ионов, $S$ -- площадь зонда, $n$ -- плотность электронов и ионов. Скорости электронов много больше скорости ионов, поэтому $I_{i0} \ll I_{e0}$. Зонд будет заряжаться до некоторого равновестного напряжения $-U_f$ -- \textit{плавающего потенциала}.\\
+\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
+    \includegraphics[scale=0.5]{images/zond.png}
+    \caption{Вольт-амперная характеристика одиночного зонда}
+\end{wrapfigure}  
+В равновесии ионный ток мало меняется, а электронный имеет вид
+$$
+I_e = I_0 \exp\left( -\dfrac{eU_f}{kT_e} \right).
+$$
+Будем подавать потенциал $U_\text{з}$ на зонд и снимать значение зондового тока $I_\text{з}$. Максимальное значение тока $I_{e\text{н}}$ -- электронный ток насыщения, а минимальное $I_{i\text{н}}$ -- ионный ток насыщения. Значение из эмпирической формулы Бомона:
+\begin{equation}
+    I_{i\text{н}} = 0.4 neS \sqrt{\dfrac{2kT_e}{m_i}}.
+\end{equation}
+\subsection*{Двойной зонд}
+Двойной зонд -- система из двух одинаковых зондов, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга, между которыми создаётся разность потенциалов, меньшая $U_f$. Рассчитаем ток между ними вблизи $I=0$. При небольших разностях потенциалов ионные токи на оба зонда близки к току насыщения и компенсируют друг друга, а значит величина результирующего тока полностью связана с разностью электронных токов. Пусть потенциалы на зондах
+$$
+U_1 = -U_f + \Delta U_1,
+$$
+$$
+U_2 = -U_f + \Delta U_2.
+$$
+Между зондами $U = U_2 - U_1 = \Delta U_2 - \Delta U_1$.
+Через первый электрод
+\begin{equation}
+    I_1 = I_{i\text{н}} + I_{e1} = I_{i\text{н}} - \dfrac{1}{4}neS\langle v_e\rangle \exp\left(-\dfrac{eU_f}{kT_e}\right)\exp\left(\dfrac{e\Delta U_1}{kT_e}\right)=I_{i\text{н}}\left(1 - \exp\left( \dfrac{e\Delta U_1}{kT_e} \right)\right).
+\end{equation}
+Аналогично через второй получим
+\begin{equation}
+I_2 = I_{i\text{н}}\left(1 - \exp\left( \dfrac{e\Delta U_2}{kT_e} \right)\right)
+\end{equation}
+  
+Из $(7)$ и $(8)$ с учётом последовательного соединение зондов ($I_1 = -I_2 = I)$:
+$$
+\Delta U_1= \dfrac{kT_e}{e}\text{ln}\left(1 - \dfrac{I}{I_{i\text{н}}}\right)
+$$
+$$
+\Delta U_2= \dfrac{kT_e}{e}\text{ln}\left(1 + \dfrac{I}{I_{i\text{н}}}\right)
+$$
+
+Тогда итоговые формулы для разности потенциалов и тока
+
+\begin{equation}
+    U = \dfrac{kT_e}{e}\text{ln}\dfrac{1 - I/I_{i\text{н}}}{1 + I/I_{i\text{н}}}, 
+    I = I_{i\text{н}} \text{th}\dfrac{eU}{2kT_e}.
+\end{equation}
+Реальная зависимость выглядит несколько иначе и описывается формулой 
+\begin{wrapfigure}{l}{7cm}
+    \includegraphics[scale=0.8]{images/double_zond.png}
+    \caption{Вольт-амперная характеристика двойного зонда}
+    \vspace{+30pt}
+\end{wrapfigure}
+\begin{equation}
+    I = I_{i\text{н}} \text{th}\dfrac{eU}{2kT_e} + AU.
+\end{equation}
+Из этой формулы можно найти формулу для $T_e$: для $U=0$ мы найдём $I_{i\text{н}}$, продифференцируем в точке $U=0$ и с учётом $\text{th}~\alpha \approx \alpha$ при малых $\alpha$ и $A\rightarrow 0$ получим:
+\begin{equation}
+    kT_e = \dfrac{1}{2}\dfrac{eI_{i\text{н}}}{\dfrac{dI}{dU}|_{U=0}}.
+\end{equation}
+\\
+
+\section{Ход работы}
+\subsection*{Описание установки}
+
+\begin{figure}[!h]
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.6]{images/scheme.png}
+    \caption{Принципиальная схема установки}
+    \label{fig:my_label}
+\end{figure}
+
+Стеклянная газоразрядная трубка имеет холодный (ненакаливаемый) полый катод, три анода и \textit{геттерный} узел -- стеклянный баллон, на внутреннюю повехность которого напылена газопоглощающая плёнка (\textit{геттер}). Трубка наполнена изотопом неона $^22$Ne при давлении 2 мм рт. ст. Катод и один из анодом (I и II) с помощью переключателя $\Pi_1$ подключается через балластный резистор $R_\text{б}$ ($\approx 450$ кОм) к регулируемому ВИП с выкодным напряжением до 5 кВ.\\
+При подключении к ВИП анода-I между ним и катодом возникает газовый разряд. Ток разряда измеряется миллиамперметром $A_1$, а падение напряжения на разрядной трубке -- цифровым вольтметром $V_1$, подключённым к трубке черезе высокоомный (25 МОм) делитель напряжения с коэффициентом $(R_1+R_2)/R_2 = 10$.\\
+При подключении к ВИП анода-II разряд возникает в пространстве между катодом и анодом-II, где находятся двойной зонд, используемый для диагностики плазмы положительного столба. Зонды изготовлены из молибденовой проволоки диаметром $d = 0.2$ мм и имеют длину $l = 5.2$ мм. Они подключены к источнику питания GPS через потенциометр $R$. Переключатель $\Pi_2$ позволяет изменять полярность напряжения на зондах. Величина напряжения на зондах изменяеься с помощью дискретного переключателя <<$V$>> выходного напряжения источника питания и потенциометра $R$, а измеряется цифровым вольтметром $V_2$. Для измерения зондового тока используется мультиметр $A_2$.
+
+
+\subsection*{Исследование ВАХ разряда}
+Зажигаем плазму и строим ВАХ разряда в координатах $I_\text{р}(U_\text{р})$:
+
+\begin{figure}[!h]
+    \centering
+    \includegraphics[height=\imageheight]{images/vah-discharge.png}
+    \caption{ВАХ разряда}
+    \label{fig:vah-discharge}
+\end{figure}
+
+По наклону того участка кривой, который приближен к линии, находим максимальное диффиренциальное сопротивление разряда $R_\text{диф}$ (обратный коэффициент прямой):
+
+\begin{equation}
+    R_\text{диф} = \dfrac{dU}{dI} = 33.0 \pm 1.5 \text{ кОм}
+\end{equation}
+
+Сравнивная полученную кривую с рисунком \ref{fig:vah-dis-all} мы приходим к выводу, что состояние будет называться \textit{поднормальным тлеющим зарядом} (участок ГД). Полное описание есть на стр. 283 практикума.
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \includegraphics[height=\imageheight]{images/vah_discharge_all.jpg}
+    \caption{Вольт-амперная характеристика разряда в неоне при давлении 1 торр. Пунктиром изображён пример нагрузочной прямой, соответствующей режиму нормального тлеющего разряда.}
+    \label{fig:vah-dis-all}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\subsection*{Исследование зондовых характеристик}
+
+Построим зондовые характеристики для разных токов и отцентруем кривые:
+
+\begin{figure}[!h]
+    \centering
+    \includegraphics[height=\imageheight]{images/vah-probe.png}
+    \caption{ВАХ двойного зонда}
+    \label{fig:my_label}
+\end{figure}
+
+\newpage
+Определим асимптоты:
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics{images/vah-probe-fit.png}
+    \caption{Асимптоты ВАХ зондов}
+    \label{fig:my_label}
+\end{figure}
+
+И по точкам пересечения асимптот с осью ординат найдём ионный ток насыщения:
+
+\[I_{i\text{н}}^{5\text{В}}     = 95.8 \pm 0.5 \text{ мкА},\]
+\[I_{i\text{н}}^{3\text{В}}     = 52.5 \pm 0.2 \text{ мкА},\]
+\[I_{i\text{н}}^{1.5\text{В}}   = 25.9 \pm 0.1 \text{ мкА}.\]
+
+Полученные данные занесём в таблицу:
+
+\begin{table}[h!]
+\centering
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
+\hline
+$I_p$, мА  & $T_e$, $10^4$ К   & $n_e$, $10^{15}$ м$^{-3}$ & $\omega_p$, $10^4$ рад/c & $r_D$, $10^{-5}$ см & $N_D$ & $\alpha$, $10^{-7}$ \\ \hline
+5.0 & $41\pm 4$ & $58\pm 6$ & $144\pm 10$   & $49\pm 3$     & 30 & 24\\ \hline
+3.0 & $42\pm 4$ & $33\pm 4$ & $107\pm 9$    & $66\pm 5$     & 40 & 13\\ \hline
+1.5 & $41\pm 6$ & $16\pm 2$ & $75\pm 8$     & $94 \pm 10$   & 57 & 7\\ \hline
+\end{tabular}
+\end{table}
+
+\section{Выводы}
+Исследовав ВАХ разряда, мы пришли к выводу, что плазма находилась в состоянии \textit{поднормального тлеющего заряда}.
+
+При исследовании зондовых характеристик удалось выяснить, что плазма \textit{идеальна} и \textit{квазинейтральна.}
 
-\section*{Ход работы}
-Этот раздел кратко отражает ход эксперимента и наглядно иллюстрирует полученные данные.
 
-\section*{Выводы}
-Самая важная часть работы; выводы должны ормироваться из аналитической компиляции всех предыдущих частей работы.
 
 \end{document}

3.6.1-spectrum/latex-pattern/preamble.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
+
+\usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=3cm,right=3cm]{geometry}
+
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+\usepackage{indentfirst}
+
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{xcolor}
+
+\usepackage{amsmath}
+
+\usepackage[some]{background}
+\usepackage{paratype}
+
+\definecolor{titlepagecolor}{cmyk}{1,.60,0,.40}
+
+\DeclareFixedFont{\bigsf}{T2A}{PTSans-TLF}{b}{n}{1.4cm}
+
+\backgroundsetup{
+scale=1,
+angle=0,
+opacity=1,
+contents={\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
+ \path [fill=titlepagecolor] (-0.5\paperwidth,5) rectangle (0.5\paperwidth,10);  
+\end{tikzpicture}}
+}
+
+\makeatletter
+
+\def\printauthor{%                  
+    {\large \@author}}              
+\makeatother
+
+\author{%
+    Луговцов Глеб \\
+    ФЭФМ МФТИ \\
+    \texttt{lugovtsov.gs@phystech.edu}\vspace{40pt} \\
+    % Author 2 name \\
+    % Department name \\
+    % \texttt{email2@example.com}
+}

3.6.1-spectrum/latex-pattern/titlepage.tex

@@ -0,0 +1,26 @@
+\begin{titlepage}
+\BgThispage
+\newgeometry{left=1.5cm,right=3cm}
+\vspace*{2cm}
+\noindent
+\textcolor{white}{\bigsf \artitle}
+\vspace*{2cm}\par
+\noindent
+\begin{minipage}{0.48\linewidth}
+    \begin{flushright}
+        \printauthor
+    \end{flushright}
+\end{minipage} \hspace{15pt}
+%
+\begin{minipage}{0.02\linewidth}
+    \rule{1pt}{175pt}
+\end{minipage} \hspace{-15pt}
+%
+\begin{minipage}{0.65\linewidth}
+\vspace{5pt}
+    \begin{abstract}
+        \arabstract
+    \end{abstract}
+\end{minipage}
+\end{titlepage}
+\restoregeometry

3.6.1-spectrum/main.tex

@@ -0,0 +1,209 @@
+\input{latex-pattern/preamble}
+
+\newcommand{\artitle}{Спектральный анализ\\[9pt] электрических сигналов}
+
+\newcommand{\arabstract}{В работе изучается спектральный состав периодических электрических сигналов различной формы: цугов, прямоугольных импульсов и модулированных по амплитуде сигналов; спектры этих сигналов наблюдаются на цифровом анализаторе спектра и сравниваются с рассчитанными теоретическими значениями.}
+
+\begin{document}
+
+\input{latex-pattern/titlepage}
+
+\section{Введение}
+В последнее время повсеместное распространение получила цифровая обработка сигналов. Спектральный состав оцифрованного сигнала может быть найден с помощью компьютера и численных методов. Этим принципом мы и будем пользоваться в своей работе.
+
+\section{Теоретическая справка}
+
+\subsection*{Разложение сложных сигналов на периодические колебания}
+
+Используется разложение в сумму синусов и косинусов с различными аргументами или, как чаще его называют, \textit{разложение в ряд Фурье}.
+
+Пусть задана функция $f(t)$, которая периодически повторяется с циклической частотой $\Omega_1 = \dfrac{2\pi}{T}$, где $T$ --- период повторения импульсов. Её разложение в ряд Фурье имеет вид 
+    \begin{equation}
+    f(t) = \dfrac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\left[a_n \cos \left(n \Omega_1t\right) + b_n \sin \left(n \Omega_1t\right)\right]
+    \end{equation}
+или
+    \begin{equation}
+    f(t) = \dfrac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty}A_n \cos \left(n\Omega_1t-\psi_n\right).
+    \end{equation}
+    
+Если сигнал чётен относительно $t=0$, в тригонометрической записи остаются только члены с косинусами. Для нечетной наоборот.
+
+Коэффициенты определяются по формуле
+    \begin{equation}
+    \begin{array}{c}
+    a_n  = \dfrac{2}{T}\int\limits_{t_1}^{t_1+T}f(t)\cos\left(n \Omega_1 t\right) dt,\\
+    \\
+    b_n = \dfrac{2}{T}\int\limits_{t_1}^{t_1+T}f(t)\sin\left(n \Omega_1 t\right) dt.
+    \end{array}
+    \end{equation}
+Здесь $t_1$ --- время, с которого мы начинаем отсчет.
+
+Сравнив формулы $(1)$ и $(2)$ можно получить выражения для $A_n$  и $\psi_n$:
+    \begin{equation}
+    \begin{array}{l}
+    A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2},\\
+     \psi_n = \arctan \dfrac{b_n}{a_n}.
+    \end{array}
+    \end{equation}
+\subsection*{Периодическая последовательность прямоугольных импульсов}
+    \begin{center}
+    \includegraphics[scale=0.9]{images/2.png}
+    \end{center}
+Напомним, что $\Omega_1 = \dfrac{2\pi}{T}$,
+где $T$ --- период повторения импульсов.
+
+Коэффициенты при косинусных составляющих будут равны
+    \begin{equation}
+    a_n = \dfrac{2}{T}\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2}V_0\cos\left(n\Omega_1 t\right)dt = 2V_0\dfrac{\tau}{T}\dfrac{\sin\left(n\Omega_1\tau/2\right)}{n\Omega_1\tau/2} \sim \dfrac{\sin x}{x}.
+    \end{equation}
+
+Здесь $V_0$ - амплитуда сигнала.
+
+Поскольку наша функция четная, то $b_n = 0$. 
+
+Пусть $T$ кратно $\tau$. Тогда введем ширину спектра, равную $\Delta \omega$ --- расстояние от главного максимума до первого нуля огибающей, возникающего, как нетрудно убедиться при $n = \dfrac{2\pi}{\tau \Omega_1}$. При 
+этом
+    \begin{equation}
+    \Delta \omega \tau \simeq 2\pi \Rightarrow \Delta \nu \Delta t \simeq 1.
+    \end{equation}
+\subsection*{Периодическая последовательность цугов}
+    \begin{center}
+    \includegraphics[scale=0.9]{images/3.png}
+    \end{center}
+Возьмём цуги колебания $V_0 \cos(\omega_0 t)$ с длительностью цуга $\tau$ и периодом повторений $T$.\\
+Функция $f(t)$ снова является четной относительно $t = 0$. Коэффициент при $n$-ой гармонике согласно формуле $(3)$ равен
+    \begin{equation}
+    a_n = \dfrac{2}{T}\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2}V_0 \cos \left(\omega_0t\right) \cdot \cos\left(n \Omega_1t\right)dt = V_0 \dfrac{\tau}{T}\left( \dfrac{\sin\left[\left(\omega_0 - n \Omega_1\right)\dfrac{\tau}{2}\right]}{\left( \omega_0 - n \Omega_1\right) \dfrac{\tau}{2}} + \dfrac{\sin\left[\left(\omega_0 + n \Omega_1\right)\dfrac{\tau}{2}\right]}{\left( \omega_0 + n \Omega_1\right) \dfrac{\tau}{2}}\right).
+    \end{equation}
+Пусть $T$ кратно $\tau$. Тогда спектры последовательности прямоугильных сигналов и цугов аналогичны, но максимумы сдвинуты на $\omega_0$.
+\subsection*{Амплитудно-модулированные колебания}
+    \begin{center}
+    \includegraphics[scale=0.9]{images/4.png}
+    \end{center}
+Рассмотрим гармонические колебания высокой частоты $\omega_0$, амплитуда которых медленно меняется по гармоническому закону с частотой $\Omega \ll \omega_0$.
+    \begin{equation}
+    f(t) = A_0 \left[1+m\cos \Omega t\right] \cos \omega_0 t.
+    \end{equation}
+Коэффициент $m$ называется \textit{глубиной модуляции}. При $m < 1$ амплитуда меняется от минимальной $A_{min} = A_0(1-m)$ до максимальной $A_{max} = A_0(1+m)$. Глубина модуляции может быть представлена в виде
+    \begin{equation}
+    m = \dfrac{A_{max}-A_{min}}{A_{max}+A_{min}}.
+    \end{equation}
+Простым тригонометрическим преобразованием уравнения $(8)$ можно найти спектр колебаний
+    \begin{equation}
+    f(t) = A_0 \cos \omega_0t + \dfrac{A_0m}{2} \cos \left(\omega_0 + \Omega\right)t + \dfrac{A_0m}{2}\cos\left(\omega_0 - \Omega\right)t.
+    \end{equation}
+
+\section{Ход работы}
+\subsection*{Исследование спектра периодических последовательностей прямоугольных импульсов}
+Устанавливаем прямоугольные колебания c $\nu_{\text{повт}} = 1$ кГц (период $T = 1$ мс) и длительностью импульса $\tau = 100$ мкс.
+
+Получаем на экране спектр сигнала и, изменяя либо $\tau$, либо $\nu_{\text{повт}}$, наблюдаем, как изменяется спектр.
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{cc}
+\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/6.png}&\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/7a.png}\\
+$\nu_{\text{повт}} = 1$ кГц, $\tau = 100$ мкс&$\nu_{\text{повт}} = 1$ кГц, $\tau = 200$ мкс\\
+\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/7b.png}\\
+$\nu_{\text{повт}} = 2$ кГц, $\tau = 100$ мкс\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+Из данных видно, что, при увеличении $\tau$, уменьшается $\Delta \nu$, а при увеличении $\nu_\text{повт}$, увеличивается расстояние между пиками.
+
+Измерим зависимость $\Delta \nu$ от $\tau$:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
+$\tau\text{, мкс}$&$\nu_0\text{, кГц}$&$\Delta \nu_0\text{, кГц}$&$1/\nu_0\text{, мкс}$&$\Delta 1/\nu_0\text{, мкс}$\\\hline
+$40.0$&$30$&$30$&$40.0$&$0$\\\hline
+$60.0$&$17$&$17$&$59$&$3$\\\hline
+$80.0$&$13$&$13$&$77$&$6$\\\hline
+$100.0$&$10$&$10$&$100.0$&$0$\\\hline
+$120.0$&$8$&$8$&$125$&$16$\\\hline
+$140.0$&$7$&$7$&$140$&$20$\\\hline
+$160.0$&$6$&$6$&$170$&$30$\\\hline
+$180.0$&$6$&$6$&$170$&$30$\\\hline
+$200.0$&$5$&$5$&$200.0$&$0$\\\hline
+\end{tabular}\\~\\
+\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/data.png}
+\end{center}
+
+Из графика $\Delta \nu \cdot \tau = 1.004\pm0.014$, что подтверждает соотношение неопределенностей.
+
+\subsection*{Исследование спектра периодической последовательности цугов}
+Посмотрим на последовательность цугов с характерными параметрами: $\nu_0 = 50$ кГц частота повторения импульсов $f_\text{повт}=1$ кГц и исследуем спектр этого сигнала для разных длительностей импульса:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{cc}
+\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/100_pulse.png}&\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/200_pulse.png}\\
+$\tau = 100$ мкс&$\tau = 200$ мкс\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+Из данных видно, что при изменении $\tau$ значение $\Delta \omega$ обратнопропорционально меняется.\\
+
+Рассмотрим поведение спектрограммы при фиксировнном значении $\tau$ и меняющемся значении $\nu_0$:
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/AB10.png}\\
+$\nu_0=10$ кГц
+\end{center}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/AB25.png}\\
+$\nu_0=25$ кГц
+\end{center}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/AB40.png}\\
+$\nu_0=40$ кГц
+\end{center}
+Из данных видно, что при изменении $\nu_0$ картина смещается без изменения расстояния между спектральными компонентами.\\
+Рассмотрим то, как это расстояние меняется при изменении $f_\text{повт}$:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|}\hline
+$f_\text{повт}$&$\nu, \text{кГц}$\\\hline
+$0.5$&$0.5$\\\hline
+$1.0$&$1.0$\\\hline
+$2.0$&$2.0$\\\hline
+$4.0$&$4.0$\\\hline
+$5.0$&$5.0$\\\hline
+\end{tabular}\\~\\
+\end{center}
+Погрешность результатов определяется погрешностью генератора -- $0.5$ Гц.
+$$\frac{f_\text{повт}}{\nu, \text{кГц}} = 1\pm0.1\%,$$
+что согласуется с теорией.
+
+\subsection*{Исследование спектра амплитудно модулированного сигнала}
+Рассмотрим амплитудно промодулированную синусоиду с параметрами $\nu_0=25$кГц, $\nu_\text{мод}=1$кГц:
+
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/sin_mod.png}\\
+$\nu_0=40$ кГц
+\end{center}
+\newpage
+Посмотрим на спектрограмму этого сигнала:\\
+<тут должен быть скрин со спектрограммой, но у меня его нет>
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.9]{images/4.png}
+\end{center}
+Посмотрим зависимость отношения амплитуд $k=A_\text{бок}/A_\text{осн}$ у боковых и остовной частоты от параметра $m = (A_{max} - A_{min}) / (A_{max} + A_{min})$.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
+$A_{max}-A_{min}\text{, В}$&$A_\text{бок}\text{, В}$&$m$&$k$\\\hline
+$0.2$&$0.0160$&$0.1$&$0.0497$\\\hline
+$0.6$&$0.0470$&$0.3$&$0.1460$\\\hline
+$1.0$&$0.0750$&$0.5$&$0.2329$\\\hline
+$1.4$&$0.1070$&$0.7$&$0.3323$\\\hline
+$1.8$&$0.1390$&$0.9$&$0.4317$\\\hline
+$2.0$&$0.1530$&$1.0$&$0.4752$\\\hline
+\end{tabular}\\~\\
+$A_\text{осн} = (322\pm0.5)\text{мВ},\,\Delta A_\text{бок}=0.0005\,\text{В},\Delta k=0.0016\,\text{}$
+\end{center}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.95\textwidth]{images/plot2.png}
+\end{center}
+Из графика
+$$\frac{k}{m} = 0.476\pm0.015,$$
+что сходится с теоретическим значением $0.5$.
+
+\section{Выводы}
+В данной работе мы изучили понятие спектра и спектрального анализа, а также исследовали спектральный состав периодических электрических сигналов. 
+
+А именно, мы посмотрели на прямоугольные импульсы, цуги гармонических колебаний, а также гармонические сигналы, модулированные по амплитуде. Кроме того, нами был экспериментально проверен частный случай выполнения соотношения неопределённости. 
+
+
+\end{document}

3.6.1-spectrum/raw-data/data.csv

@@ -0,0 +1,10 @@
+tau,nu_0,Delta_nu_0,rev_nu_0,Delta_rev_nu_0
+40.0,30,30,40.0,0
+60.0,17,17,59,3
+80.0,13,13,77,6
+100.0,10,10,100.0,0
+120.0,8,8,125,16
+140.0,7,7,140,20
+160.0,6,6,170,30
+180.0,6,6,170,30
+200.0,5,5,200.0,0

3.6.1-spectrum/raw-data/plot2.csv

@@ -0,0 +1,7 @@
+A_max_min,A_bok,m,k
+0.2,0.0160,0.1,0.0497
+0.6,0.0470,0.3,0.1460
+1.0,0.0750,0.5,0.2329
+1.4,0.1070,0.7,0.3323
+1.8,0.1390,0.9,0.4317
+2.0,0.1530,1.0,0.4752

LICENSE

@@ -0,0 +1,21 @@
+MIT License
+
+Copyright (C) 2022 by Gleb Lugovtsov <lugovtsov.gs@phystech.edu>
+
+Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
+of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal
+in the Software without restriction, including without limitation the rights
+to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell
+copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is
+furnished to do so, subject to the following conditions:
+
+The above copyright notice and this permission notice shall be included in
+all copies or substantial portions of the Software.
+
+THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
+IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
+FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE
+AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER
+LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM,
+OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN
+THE SOFTWARE.